Линейные операторы с простым спектром.

Изучим линейные операторы -мерного векторного пространства, имеющие различных собственных значений.

ТЕОРЕМА 5.7. Если собственные векторы линейного оператора имеют различные собственные значения, то система линейно независима.

Доказательство. Пусть — линейный оператор векторного пространства и — его собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, т. е.

и

Доказательство проводится индукцией по числу т. Так как любой собственный вектор отличен от нулевого вектора, то теорема верна при . Предполагая, что теорема верна для векторов, докажем, что она верна для векторов.

Надо доказать, что для любых из равенства

следуют равенства

Так как есть линейный оператор, то из (3) следует равенство и в силу (1)

Прибавив к обеим частям равенства (5) соответствующие части равенства (3), умноженные на (), получим

По индуктивному предположению, система собственных вектор линейно независима. Поэтому из (6) следуют равенства

Ввиду (2) отсюда имеем

В силу (3) и (7) , кроме того, следовательно,

Таким образом, доказано, что из (3) следует (4), т. е. система линейно независима.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейный оператор -мерного векторного пространства имеющий различных собственных значений, называется оператором с простым спектром; набор всех собственных значений оператора называется спектром оператора.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.8. Пусть — линейный оператор -мерного векторного пространства 4° с простым спектром . Пусть — собственные векторы оператора принадлежащие соответственно . Тогда система является базисом пространства .

Доказательство. По условию, спектр оператора состоит из попарно различных скаляров. По теореме 5.7, отсюда следует, что система собственных векторов линейно независима. По следствию 7.3.4 отсюда вытекает, что система есть базис пространства .

ТЕОРЕМА 5.9. Пусть — линейный оператор -мерного векторного пространства с простым спектром — собственные векторы оператора принадлежащие соответственно собственным значениям Тогда диагональная матрица

является матрицей оператора относительно базиса и для любого вектора пространства

Доказательство. По условию,

Эти равенства показывают, что диагональная матрица (1) является матрицей оператора относительно базиса . Далее, если , то ввиду линейности оператора имеем

В силу (3) отсюда следуют равенства (2).