Алгебраическое и функциональное равенства полиномов.

Пусть — кольцо полиномов над областью целостности Обозначим через f функцию

ставящую в соответствие каждому из К элемент т. е. значение полинома f для аргумента Для некоторых колец различные полиномы могут определять одну и ту же функцию. Так, например, если — кольцо полиномов над полем то полиномы определяют одну и ту же функцию.

ТЕОРЕМА 1.14. Пусть — кольцо полиномов над бесконечной областью целостности . Полиномы из равны тогда и только тогда, когда равны определяемые ими функции f и

Доказательство. Пусть f и g — полиномы из и f, g — определяемые ими функции. Предположим, что Если f и g — нулевые полиномы, то Предположим, что f и g — ненулевые полиномы степени :

Поскольку , то

Для любого из К имеем:

Следовательно, в силу

Предположим теперь, что т. е. для любого из К

Тогда для полинома выполняется условие для всякого К из .

Так как множество К бесконечно, то (2) означает, что полином h имеет бесконечное множество различных корней. По следствию 1.13, h — нулевой полином, т. е. Таким образом, из следует .