Фактор-множество.

Пусть — непустое множество.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Фактор-множеством множества А по отношению эквивалентности R называется множество всех классов эквивалентности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разбиением множества А называется такое семейство его непустых подмножеств, что каждый элемент множества входит в точности в один член семейства.

Другими словами, разбиение множества A есть семейство его непустых подмножеств, оъединение которых совпадает с множеством , а пересечение любых двух из них пусто.

ТЕОРЕМА 4.1. Пусть R — отношение эквивалентности на (непустом) множестве А. Тогда фактор-множество является разбиением множества А.

Доказательство. Каждый элемент а множества А принадлежит классу эквивалентности Надо доказать, что каждый элемент множества А принадлежит в точности одному члену семейства

Для этого достаточно показать, что классы эквивалентности, имеющие хотя бы один общий элемент, совпадают. Пусть — классы эквивалентности, имеющие общий элемент с, пусть — любой элемент из тогда и в силу транзитивности отношения Таким образом, Аналогично доказывается, что Следовательно, Итак, установлено, что фактор-множество является разбиением множества А.

СЛЕДСТВИЕ 4.2. Пусть R — отношение эквивалентности на множестве А, тогда

(1) для любого а из А;

(2) для любых а, b из тогда и только тогда, когда ;

(3) тогда и только тогда, когда

(4)

Это следствие непосредственно вытекает из теоремы 4.1.

Пусть S — разбиение непустого множества А и — бинарное отношение, определяемое следующим образом: тогда и только тогда, когда принадлежат одному и тому же члену семейства

ТЕОРЕМА 4.3. Отношение соответствующее разбиению S непустого множества А, является отношением эквивалентности на А, причем фактор-множество совпадает с разбиением

Доказательство теоремы не представляет трудности и предлагается читателю в качестве упражнения.