Нахождение собственных векторов линейного оператора.

Пусть — векторное пространство над полем с фиксированным базисом — линейный оператор этого пространства и — матрица оператора относительно фиксированного базиса,

Для нахождения собственных векторов оператора принадлежащих , надо найти

Пусть — вектор из V; в фиксированном базисе он имеет координатный столбец

Согласно теореме 2.3, координатным столбцом вектора является , т. е. . Вектор тогда и только тогда, когда

Условие (1) можно записать в виде однородной линейной системы относительно переменных

Вектор тогда и только тогда есть собственный вектор оператора принадлежащий собственному значению , когда координатная строка вектора является ненулевым решением линейной однородной системы (1). Таким образом, доказано следующее предложение.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.2. Пусть — линейный оператор векторного пространства с фиксированным базисом и — матрица оператора относительно фиксированного базиса. Вектор тогда и только тогда есть собственный вектор оператора принадлежащий собственному значению X, когда координатная строка вектора является ненулевым решением системы (1).