Упражнения

1. Пусть — любое целое число и Покажите, что для всякого множество есть идеал кольца Покажите, что всякий идеал кольца есть множество для некоторого натурального .

2. Покажите, что бинарные операции пересечения и суммы идеалов коммутативны и ассоциативны.

3. Докажите, что пересечение левых (правых) идеалов кольца есть левый (правый) идеал кольца.

4. Покажите, что поле не имеет идеалов, отличных от нулевого и единичного.

5. Пусть - конечномерное векторное пространство над полем Пусть — кольцо линейных операторов пространства V. Докажите, что кольцо не имеет двусторонних идеалов, отличных от нулевого и единичного.

6. Найдите все идеалы кольца

7. Докажите, что конечная область целостности является полем.

8. Пусть — кольцо и — целое число. Покажите, что множество является идеалом кольца

9. Пусть — конечное поле, состоящее из элементов. Докажите, что для любого элемента а поля

10. Найдите все автоморфизмы поля комплексных чисел, оставляющие неизменными действительные числа.

11. Докажите, что при любом изоморфизме числовых полей подполе рациональных чисел отображается тождественно,

12. Докажите, что кольцо матриц вида

с действительными а, b, с, d изоморфно телу (кольцу с делением) кватернионов над полем действительных чисел.

13. Докажите, что наименьшее подполе любого поля характеристики нуль изоморфно полю рациональных чисел.

14. Докажите, что

15. Пусть — положительный делитель натурального числа т. Докажите, что

16. Докажите, что область целостности, содержащая только три элемента, изоморфна фактор-кольцу

17. Докажите, что поля не изоморфны,