§ 4. КОЛЬЦА

Понятие кольца.

Кольца, как и группы, являются очень важным частным случаем алгебр.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кольцом называется алгебра типа (2, 1, 2, 0), главные операции которой удовлетворяют следующим условиям:

(1) алгебра есть абелева группа;

(2) алгебра есть моноид;

(3) умножение дистрибутивно относительно сложения, т. е. для любых элементов а, b, с из К

Основное множество К кольца обозначается также через Элементы множества К называются элементами кольца .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Группа называется аддитивной группой кольца . Нуль этой группы, т. е. нейтральный элемент относительно сложения, называется нулем кольца и обозначается через 0 или

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Моноид называется мультипликативным моноидом кольца . Элемент 1, обозначаемый также через 1, являющийся нейтральным относительно умножения, называется единицей кольца .

Кольцо называется коммутативным, если для любых элементов а, b кольца. Кольцо называется нулевым, если

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кольцо называется областью целостности, если оно коммутативно, и для любых из следует или

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Элементы а и b кольца называются делителями нуля, если или

Отметим, что любая область целостности не имеет делителей нуля.

Примеры. 1. Пусть Q — множество всех рациональных чисел и

Алгебра

типа (2, 1, 2, 0), где суть обычные операции сложения и умножения действительных чисел и — есть унарная операция перехода от данного числа к противоположному, является коммутативным кольцом.

2. Пусть К — множество всех действительных функций, определенных на множестве R действительных чисел. Сумма произведение функция и единичная функция 1 определяются как обычно, а именно:

Непосредственная проверка показывает, что алгебра является коммутативным кольцом.

3. Пусть — произвольное кольцо. Таблица вида

где а, b, с, d — элементы из К, называется квадратной матрицей второго порядка над или -матрицей над . Множество всех -матриц над обозначим через На этом множестве введем отношение равенства. Матрицы

называют равными и пишут

если

Матрицы

называются единичной и нулевой соответственно. На множестве -матриц над операции сложения, умножения и унарная операция — определяются следующим образом:

Непосредственно проверяется, что алгебра есть абелева группа, алгебра — моноид и умножение матриц дистрибутивно относительно сложения. Следовательно, алгебра является кольцом, причем некоммутативным. Это кольцо называется кольцом -матриц над и обозначается символом