§ 6. ТЕОРЕМЫ О МАТРИЦАХ. ПРАВИЛО КРАМЕРА

Теорема о ранге матрицы.

Рассмотрим связь ранга матрицы с порядками ее ненулевых миноров.

ТЕОРЕМА 6.1. Ранг ненулевой матрицы равен наибольшему из порядков ненулевых миноров матрицы.

Доказательство. Пусть А — ненулевая матрица и . Тогда ее ранг Докажем, что матрица А имеет хотя бы один ненулевой минор порядка

Так как , то матрица А имеет линейно независимых строк. Пусть В — подматрица матрицы А, состоящая из линейно независимых строк матрицы А, т.е. . Из равенства следует, что матрица В имеет линейно независимых столбцов. Пусть С — подматрица матрицы В, состоящая из линейно независимых столбцов матрицы В, тогда По теореме так как столбцы матрицы С линейно независимы. Таким образом, есть ненулевой минор порядка матрицы А.

Легко проверить, что при равен нулю любой минор порядка k матрицы А. В самом деле, при линейно зависимы любые k строк матрицы А. Поэтому линейно зависимы строки любой квадратной подматрицы матрицы А. Следовательно, по теореме 5.9, равен нулю любой минор порядка k матрицы А.

Обратная матрица. Пусть

и — алгебраическое дополнение элемента

Присоединенной для матрицы А называется матрица

В силу теорем 5.3 и 5.4

поэтому

Аналогичные вычисления приводят к равенствам

Равенства (1) и (2) показывают, что матрицы взаимно обратны. Таким образом доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 6.2. Если определитель квадратной матрицы А отличен от нуля, то матрица А обратима и