§ 4. УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ В КВАДРАТНЫХ РАДИКАЛАХ

Понятие разрешимости уравнения в квадратных радикалах.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Поле называется квадратичным расширением поля если существует такой элемент а, что

Примеры. 1. Поле есть квадратичное расширение поля 2. Поле является квадратичным расширением поля

3. Поле не является квадратичным расширением поля

Говорят, что уравнение

разрешимо в квадратных радикалах, если его корни можно выразить рационально (т. е. с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления) через корни цепочки двучленных квадратных уравнений:

Таким образом, все корни уравнения (1) рационально выражаются через числа и принадлежат ПОЛЮ

Другими словами, уравнение (1) разрешимо в квадратных радикалах, если существует возрастающая цепочка числовых полей

такая, что каждое поле цепочки является квадратичным расширением предыдущего поля поле содержит все корни уравнения (1).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что уравнение (1) разрешимо в радикалах, если его корни можно выразить рационально через корни цепочки двучленных уравнений:

Таким образом, все корни уравнения (1) рационально выражаются через числа и принадлежат полю

Условия разрешимости уравнения третьей степени в квадратных радикалах.

ТЕОРЕМА 4.1. Уравнение третьей степени

с рациональными коэффициентами разрешимо в квадратных радикалах тогда и только тогда, когда оно имеет хотя бы один рациональный корень.

Доказательство. Если имеет хотя бы один рациональный корень, например d, то полином можно представить в виде

где . Поэтому уравнение (1) разрешимо в квадратных радикалах.

Предположим, что уравнение (1) разрешимо в квадратных радикалах и не имеет рациональных корней.

Тогда существует такая цепочка квадратичных расширений

что хотя бы один из корней уравнения (1) содержится в например

и ни один из корней уравнения (1) не содержится в

Поле есть квадратичное расширение поля т. е. существует элемент такой, что

основании (3) и (5) заключаем, что

Непосредственная проверка показывает, что также является корнем полинома . В самом деле,

где

Так как

следует, что

На основании (7), (8), (9) и (10) заключаем, что

Таким образом, есть также корень полинома Пусть Тогда в силу и, значит, .

По формулам Виета, . Кроме того, в силу Поэтому , что противоречит предположению (4).

СЛЕДСТВИЕ 4.2. Уравнение (1) с рациональными коэффициентами разрешимо в квадратных радикалах тогда и только тогда, когда полином неприводим в кольце

Примеры задач, неразрешимых в квадратных радикалах.

В геометрии доказывается, что корни уравнения с рациональными коэффициентами могут быть построены циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда это уравнение разрешимо в квадратных радикалах, т. е. когда решение этого уравнения сводится к решению цепочки квадратных уравнений.

Задача об удвоении куба. Построить ребро куба, объем которого вдвое больше объема данного куба.

Нам дан только отрезок — ребро данного куба; примем этот отрезок за единичный. Тогда длина ребра искомого куба удовлетворяет уравнению

Это уравнение неразрешимо в квадратных радикалах, так как не имеет рациональных корней. Следовательно, корни уравнения (1) не могут быть построены циркулем и линейкой.

Задача о трисекции угла. Разделить данный угол на три равные части.

Мы можем считать, что даны два луча, исходящие из точки О и образующие угол Проведем дугу круга единичного радиуса. Построим точку А такую, что отрезок О А имеет длину Обратно: зная отрезок О А длины легко построить угол циркулем и линейкой. Поэтому мы можем считать, что искомым является угол

то

и

Поскольку , то

При и поэтому уравнение (1) разрешимо в квадратных радикалах.

Если же то мы получим уравнение

Полагая в нем получим

Уравнение (3) и, значит, (2) неразрешимо в квадратных радикалах, так как не имеет рациональных корней. Следовательно, корни этих уравнений невозможно построить циркулем и линейкой. Таким образом, угол невозможно разделить на три равные части циркулем и линейкой.

Задача о построении правильного семиугольника. Построить правильный семиугольник, вписанный в единичный круг.

Корни уравнения изображаются на плоскости вершинами правильного семиугольника, вписанного в единичный круг. Один из корней этого уравнения равен единице, а остальные удовлетворяют уравнению

Докажем, что уравнение (1) неразрешимо в квадратных радикалах. Разделив обе части уравнения (1) на и сгруппировав слагаемые, получим

Полагая

получим

Уравнение (3) неразрешимо в квадратных радикалах, так как не имеет рациональных корней. Уравнение (1) неразрешимо в квадратных радикалах.

В самом деле, если бы уравнение (1) было разрешимо в квадратных радикалах, то в силу (2) уравнение (3) также было бы разрешимо в квадратных радикалах. Следовательно, корни уравнения (1) невозможно построить циркулем и линейкой. Отсюда следует, что правильный семиугольник невозможно построить циркулем и линейкой.

Для каких натуральных можно построить правильный -угольник при помощи циркуля и линейки?

Вопрос этот был решен полностью Гауссом в 1796 г. Гаусс доказал, что построение возможно в том и только в том случае, когда можно представить в виде

где k — натуральное число, а — различные простые числа вида

Упражнения

1. Покажите, что полином неприводим над полем рациональных чисел.

2. Покажите, что полином третьей степени над полем либо неприводим, либо имеет корень в этом поле. Является ли полином неприводимым над полем рациональных чисел?

3. Покажите, что полином от двух переменных неприводим над полем рациональных чисел. Приводим ли он над полем комплексных чисел?

4. Докажите, что уравнение разрешимо в квадратных радикалах.

5. Докажите, что правильный пятиугольник можно построить циркулем и линейкой.

6. Докажите, что правильный девятиугольник невозможно построить циркулем и линейкой,