§ 5. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Собственные векторы и собственные значения.

Пусть -векторное пространство над полем и — линейный оператор этого пространства.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектор называется собственным вектором оператора если к вектор равен произведению скаляра и вектора а.

Скаляр называется собственным значением оператора если существует такой ненулевой вектор а, что

Если а — собственный вектор оператора , то существует единственный скаляр удовлетворяющий условию Действительно, если то из равенства следует . Поэтому, если говорят, что вектор а принадлежит собственному значению .

Примеры. 1. Пусть есть ненулевое векторное пространство над полем и — фиксированный скаляр. Определим отображение полагая для любого Легко видеть, что есть линейный оператор пространства ; он называется оператором гомотетии с коэффициентом . Скаляр есть собственное значение оператора и притом единственное. Любой ненулевой вектор пространства есть собственный вектор оператора принадлежащий собственному значению X.

2. Пусть — векторное пространство действительных функций одной переменной, определенных на R и неограниченно дифференцируемых; есть пространство над полем действительных чисел Обозначим через оператор дифференцирования, ставящий в соответствие каждому элементу его производную Легко видеть, что оператор дифференцирования есть линейный оператор пространства . Если , то функция есть собственный вектор оператора дифференцирования, так как

Таким образом, любое действительное число является собственным значением оператора дифференцирования.

3. Пусть — двумерное векторное пространство над полем действительных чисел Обозначим через оператор поворота, ставящий в соответствие каждому вектору пространства вектор, образующий с исходным вектором угол а. Легко видеть, что есть линейный оператор пространства , который не имеет собственных векторов, если , где k — целое число.

Обозначим через тождественный оператор векторного пространства . Если — линейный оператор пространства — любой скаляр, то легко видеть, что является линейным оператором пространства .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.1. Пусть — линейный оператор векторного пространства — собственное значение этого оператора. Множество всех собственных векторов оператора совпадает с множеством .

Доказательство. Согласно определению ядра,

Если

Таким образом, любой ненулевой вектор множества является собственным вектором оператора

Пусть b — любой собственный вектор оператора принадлежащий , т. е. тогда

Следовательно, и так как , то