Наименьшее общее кратное.

Целое число с называется общим кратным целых чисел если оно делится на каждое из этих чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Наименьшим общим кратным целых чисел называется такое их общее кратное, которое делит любое общее кратное этих чисел. Наименьшее общее кратное целых чисел обозначается через НОК Положительное наименьшее общее кратное чисел отличных от нуля, обозначается через

Из определения непосредственно вытекают следствия.

СЛЕДСТВИЕ 2.13. Любые два наименьших общих кратных целых чисел ассоциированы в т. е. могут отличаться только знаком. Если число есть НОК то и число есть НОК

СЛЕДСТВИЕ 2.14. Если — наименьшее общее кратное чисел то множество всех общих кратных этих чисел совпадает с множеством всех кратных числа т.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.15. Пусть , где — попарно различные положительные простые числа и — целые неотрицательные числа. Тогда

Доказательство этого предложения предоставляется читателю.

ТЕОРЕМА 2.16. Для любой совокупности целых чисел существует наименьшее общее кратное. Целое число есть тогда и только тогда, когда где (а — идеал, порожденный числом

Доказательство. Рассмотрим множество

Так как множества (а), замкнуты относительно сложения и умножения на целые числа, то легко проверить, что их пересечение I также замкнуто относительно сложения и умножения на целые числа. Кроме того, это множество не пусто, так как содержит нуль. Поэтому есть идеал кольца целых чисел. Согласно теореме 4.4, любой идеал кольца целых чисел является главным, т. е. существует целое число такое, что каждое число из кратно . Докажем, что есть Так как то ввиду для , т. е. есть общее кратное чисел . Кроме того, если — любое общее кратное чисел , то Следовательно, и поэтому делится на . Таким образом, есть наименьшее общее кратное чисел

Предположим теперь, что есть наименьшее общее кратное чисел и докажем, что Так как числа и суть наименьшие общие кратные одной и той же совокупности чисел , то они ассоциированы в Следовательно, и поэтому

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.17. Для любых отличных от нуля целых чисел а, с при имеем:

Доказательство. Пусть . Так как есть общее кратное чисел а и b, то есть общее кратное чисел

Пусть — любое общее кратное чисел , т. е.

где k и s — целые числа. Так как , то . Поэтому делится на и, следовательно, делится на . Таким образом, есть наименьшее общее кратное чисел . Кроме того, поэтому

СЛЕДСТВИЕ 2.18. Для любых отличных от нуля целых чисел а, b и с

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.19. Если целые числа взаимно простые, то есть наименьшее общее кратное чисел

Доказательство. Число есть общее кратное чисел Поэтому достаточно доказать, что любое общее кратное чисел а и b делится на Число кратно b, т. е. , где с — целое число, и а Так как, по условию, а и b взаимно простые, то отсюда согласно теореме 2.11 следует, что а делит с, Следовательно, т. е. делится на Таким образом, есть наименьшее общее кратное чисел а и b.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.20. Если целые числа отличны от нуля, то

Доказательство. Пусть d есть наибольший общий делитель чисел а и b. Так как числа а и b отличны от нуля, то Согласно следствию 2.18,

Далее, в силу предложения 2.12 . Отсюда согласно предложению 2.19

На основании (2) и (3) заключаем, что выполняется соотношение (1).

ТЕОРЕМА 2.21. Для любых целых чисел а, b и с

Доказательство. Пусть . Согласно теореме 2.16,

поэтому

Из (2) и (3) следует, что