Упражнения

1. Пусть , где — натуральное число. Покажите, что при существует инъективное отображение множества Z на

2. Пусть — аддитивная группа целых чисел. Покажите, что множество где — целое число, замкнуто в группе g, т. е. замкнуто относительно операций

3. Покажите, что непустое множество целых чисел, замкнутое относительно сложения, не обязательно состоит из кратных фиксированного целого числа.

4. Покажите, что непустое множество целых чисел, замкнутое в группе (замкнутое относительно операций ), состоит из кратных некоторого фиксированного целого числа.

5. Выясните, являются ли подгруппами относительно операций — в аддитивной группе целых чисел следующие множества целых чисел:

множество всех четных чисел;

множество натуральных чисел;

множество нечетных чисел.

6. Пусть — фиксированное целое число. Покажите, что алгебра является подгруппой группы g. Покажите, что любая подгруппа группы совпадает с группой для некоторого натурального .

7. Докажите, что аддитивная группа целых чисел g изоморфна подгруппе при любом целом отличном от нуля.

8. Покажите, что кольцо g целых чисел не имеет автоморфизмов, отличных от тождественного.

9. Докажите, что кольцо g целых чисел не имеет подколец, отличных от

10. Пусть — произвольное кольцо. Докажите, что существует единственный гомоморфизм кольца g целых чисел в кольцо

11. Пусть . Докажите, что алгебра типа (2, 1, 2, 0,), где суть обычные операции над действительными числами, является коммутативным кольцом. Укажите нетривиальный автоморфизм этого кольца.

12. Докажите, что не существует гомоморфизмов кольца в кольцо g и эти кольца не изоморфны.

13. Пусть и операции на множестве К определяются следующим образом:

Покажите, что алгебра является коммутативным кольцом с делителями нуля.

14. Докажите, что для любого натурального :

делится на 24;

делится на 9;

делится на

5 не делится на 8.

15. Докажите, что произведение любых трех последовательных целых чисел делится на 6.

16. Докажите, что для любого целого :

делится на 3;

делится на 5;

делится на 7;

делится на 6;

делится на 30.

17. Покажите, что если целое число не делится на 7, то или делится на 7.

18. Докажите, что для любых целых а и b:

19. Докажите, что для любых целых а и

20. Докажите индукцией по что для любых целых выполняется неравенство за исключением случая, когда

21. Докажите, что любое непустое множество целых чисел, ограниченное снизу (сверху), имеет наименьший (наибольший) элемент.

22. Докажите, что для любого целого а и любого целого положительного b существует единственное целое число такое, что b.

23. Докажите следующее обобщение теоремы о делении с остатком: для любых целых а и b при существует единственная пара целых чисел такая, что