Деление полинома на двучлен и корни полинома.

Пусть — кольцо полиномов от над ненулевым коммутативным кольцом . Если то сумму будем обозначать через и называть значением полинома для аргумента

ТЕОРЕМА 1.10 (Безу). Пусть f — полином над кольцом и . В кольце существует такой полином q, что

Доказательство. Теорема верна, если f — нулевой полином; в этом случае и можно положить . Пусть — ненулевой полином, тогда

следовательно, где

Часто теорему Безу формулируют следующим образом: остаток от деления полинома f из , где — коммутативное кольцо, на двучлен равен

Пусть f — полином над кольцом .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элемент кольца Ж называется корнем полинома f над кольцом если

ТЕОРЕМА 1.11. Пусть f — полином над кольцом . Элемент является корнем полинома f тогда и только тогда, когда делит полином f в кольце

Доказательство. Пусть — корень полинома По теореме Безу, , где . Следовательно, делит полином

Предположим теперь, что делит полином f в где Тогда