Композиция функций.

Рассмотрим свойства композиции функций. При этом композиция функций понимается как композиция отношений.

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть f и g — функции. Тогда их композиция также есть функция такая, что

Доказательство. определению композиции бинарных отношений есть множество всех пар таких, что для некоторого z выполняется одновременно т. е.

Так как g — функция, то означает, что Поскольку — функция, вхождение означает, что

Следовательно,

Следовательно, есть функция, для которой выполняются равенства (1), (2), (3).

Следствие 3.2. Пусть — произвольные функции; тогда

Теорема 3.3. Если g — отображение множества А в В и — отображение множества В в С, то является отображением множества А в С.

Доказательство. По условию, По следствию 3.2, отсюда вытекает, что

Следовательно, является отображением множества А в С.

ТЕОРЕМА 3.4. Если g — отображение множества А на В и — отображение множества В на С, то является отображением множества А на С.

Эта теорема непосредственно вытекает из теоремы 3.3 и следствия 3.2.

ТЕОРЕМА 3.5. Композиция функций обладает свойством ассоциативности, т. е. для любых функций f, g и

Теорема 3.5 непосредственно следует из теоремы 2.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отображение множества А на себя такое, что для каждого из А, называется тождественным или единичным отображением множества А на себя.

ТЕОРЕМА 3.6. Пусть отображение множества А на В. Тогда

Доказательство. Инверсия функции есть бинарное отношение такое, что

По определению композиции отношений

Из следует

Так как f — функция, то из (2) следует равенство Поэтому (1) можно записать в виде

Отсюда, поскольку есть отображение А на В, получаем

Следовательно,

ТЕОРЕМА 3.7. Пусть — функции, удовлетворяющие условию

Тогда если то

Доказательство. Предположим, что

В силу (1) для любого у из найдется элемент такой, что Отсюда в силу (2) следует, что

для любого у из Кроме того, в силу Следовательно,