§ 4. НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ И ФАКТОР-ГРУППЫ

Нормальные делители группы.

Пусть — подгруппа группы Естественно возникает вопрос: при каких условиях разбиения множества G на правые и левые смежные классы по подгруппе совпадают? Подгруппы, обладающие этим свойством, выделяются следующим определением.

Определение. Подгруппа группы Э называется нормальным делителем группы , если для любого элемента g из G и любого элемента h из .

Запись означает, что есть нормальный делитель группы .

Примеры. 1. Пусть — симметр ическая подстановок степени и — ее подгруппа всех четных подстановок. Тогда

2. Любая подгруппа абелевой группы является ее нормальным делителем.

3. Пусть — мультипликативная группа обратимых -матриц над полем — подгруппа матриц, определители которых равны единице. Тогда

Рассмотрим некоторые свойства нормальных делителей группы.

СВОЙСТВО 4.1. Подгруппа группы есть нормальный делитель группы тогда и только тогда, когда каждый правый смежный класс группы по подгруппе является также левым смежным классом.

Доказательство. Предположим, что

и докажем, что

для любого g из

В силу для любого h из . Поэтому Далее, в силу . Следовательно, для любого h из , т. е. имеет место включение Таким образом, из (1) следует (2).

Предположим теперь, что выполняется условие (2). Тогда для любого найдется такое что Следовательно, для любого и любого Таким образом, из (2) следует

СВОЙСТВО 4.2. Пусть — подгруппа группы — подгруппа группы S и тогда

Доказательство. Пусть а и b — произвольные элементы из соответственно. Тогда так как, по условию, . Следовательно,

СВОЙСТВО 4.3. Пересечение любой совокупности нормальных делителей группы S является нормальным делителем группы

Доказательство. Пусть Тогда есть подгруппа группы S. Если то

так как , по условию, — нормальные делители группы . Следовательно, .

Аналогично доказывается, что свойство 4.3 имеет место для любой совокупности нормальных делителей группы.