Симметричные элементы.

Пусть Т — бинарная операция на множестве А, обладающая нейтральным элементом е.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элемент и из А называется левым симметричным к элементу относительно операции Т, если Элемент и из А называется правым симметричным к а относительно операции Т, если .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элемент не называется симметричным к элементу относительно операции если

В этом случае элемент а называется симметризуемым, а элементы — взаимно симметричными.

Примеры. 1. Относительно сложения целых чисел симметричным к данному целому числу является то же число, взятое со знаком минус.

2. Относительно умножения рациональных чисел симметричным к ненулевому числу а является число нуль не имеет симметричного относительно умножения.

ТЕОРЕМА 1.4. Если операция Т ассоциативна и элемент а симметризуем, то существует единственный элемент, симметричный к .

Доказательство. Пусть — элементы, симметричные к элементу а относительно Т, т. е.

Тогда в силу ассоциативности Т

СЛЕДСТВИЕ 1.5. Если элемент а имеет симметричный элемент а относительно ассоциативной операции Т, то все левые и все правые симметричные к а элементы совпадают с элементом а.

ТЕОРЕМА 1.6. Если элементы а, b симметризуемы относительно ассоциативной операции то элемент также симметризуем и элемент является симметричным к .

Доказательство. Пусть а и b — элементы, симметричные к и b соответственно. В силу ассоциативности

Также убеждаемся, что . Следовательно, элемент b симметризуем и элемент является симметричным к

ТЕОРЕМА 1.7. Элемент, симметризуемый относительно ассоциативной операции Т, является регулярным относительно Т.

Доказательство. Пусть а — симметризуемый элемент и для элементов b, с множества А верно равенство . Тогда если а — элемент, симметричный к а, то . В силу ассоциативности операции

Следовательно, . Аналогично убеждаемся, что для любых элементов b, с множества А из равенства следует Таким образом, элемент а является регулярным относительно Т»