Упражнения.

1. Покажите, что система векторов двумерного арифметического векторного пространства тогда и только тогда является базисом пространства когда

2. Покажите, что система векторов (1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1) есть базис пространства Найдите координатные строки единичных векторов относительно этого базиса.

3. Покажите, что для любых скаляров система векторов является базисом пространства

4. Пусть -числовое поле. Каким условиям должны удовлетворять скаляры чтобы система векторов была базисом пространства

5. Каким условиям должен удовлетворять скаляр X, чтобы система векторов была базисом пространства пространства

6. Пусть векторное пространство есть прямая сумма конечномерных подпространств Покажите, что в результате приписывания базиса подпространства к базису подпространства получается базис пространства

7. Пусть поле, состоящее из двух элементов. Сколько различных базисов имеет пространство

8. Пусть V есть -мерное векторное пространство. Докажите, что система векторов есть базис пространства V тогда и только тогда, когда

9. Пусть — векторное пространство -матриц над полем Найдите его базис и размерность.

10. Пусть V — ненулевое конечномерное векторное пространство. Докажите, что размерность подпространства натянутого на данные векторы пространства равна рангу матрицы, составленной из координатных строк данных векторов в каком-нибудь базисе.

11. Докажите, что система ненулевых векторов -мер-ного векторного пространства V тогда и только тогда является базисом пространства когда для .

12. Пусть — конечное поле, состоящее из элементов, и Сколько различных базисов имеет векторное пространство V?

13. Пусть векторного пространства и —целое положительное число, меньшее . Докажите, что

14. Пусть - -стандартный базис векторного пространства Покажите, что система векторов пространства W тогда и только тогда является базисом пространства ЧУ, когда

15. Докажите, что если сумма размерностей двух подпространств -мерного пространства больше , то эти подпространства имеют общий ненулевой вектор.

16. Докажите, что векторное пространство V имеет только два подпространства тогда и только тогда, когда пространство V одномерное.

17. Докажите, что двумерное векторное пространство над числовым полем имеет бесконечное множество различных одномерных подпространств.

18. Пусть , где - трехмерное пространство и — ненулевые подпространства, отличные от V» Покажите, что одно из подпространств есть одномерное, а другое — двумерное.

19. Пусть — различные одномерные подпространства двумерного векторного пространства Докажите, что

20. Пусть - различные двумерные подпространства трехмерного векторного пространства V. Докажите, что есть одномерное подпространство.

21. Пусть — подпространства -мерного векторного пространства имеющие размерности k и s соответственно. Докажите, что:

22. Докажите, что -мерное векторное пространство при можно представить в виде прямой суммы одномерных подпространств.

23. Пусть — базис векторного пространства Покажите, что

24. Пусть где — подпространства -мерного пространства имеющие размерности соответственно. Докажите, что тогда и только тогда, когда