Отношение равнообразности отображения.

Пусть f — отображение множества А в В. Рассмотрим бинарное отношение R на А такое, что тогда и только тогда, когда

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть f — отображение множества А в В. Бинарное отношение

называется отношением равнообразности отображения

ТЕОРЕМА 4.4. Пусть f — любое отображение и А — Отношение равнообразности отображения f является отношением эквивалентности на множестве А.

Доказательство. Пусть R — отношение равнообразности отображения f. Отношение R рефлексивно на А, так как для любого из А. Отношение R транзитивно, так как для любых х, у, z из и следует

Отношение R симметрично, так как для любых х, у из следует . Следовательно, R является отношением эквивалентности на множестве А.

Если — отношение равнообразности отображения f, то класс эквивалентности, порожденный элементом а, есть (b). Множество является фактор-множеством множества А по отношению эквивалентности R, т. е.

Любое отношение эквивалентности на множестве А можно рассматривать как отношение равнообразности некоторого отображения множества А. В самом деле, можно определить естественное отображение множества А на фактор-множество ставя в соответствие каждому из А единственный класс эквивалентности содержащий Легко проверить, что отношение эквивалентности совпадает с отношением равнообразности естественного отображения множества А на