Предикаты.

Рассмотрим предложение

содержащее натуральные переменные

Это предложение не является высказыванием, так как о нем нельзя сказать, истинно оно или ложно. Оно называется предикатом или условием (на х и у). Приведем другие примеры предложений с переменными:

есть простое число;

есть четное число;

меньше у,

есть общий делитель у, z.

Будем считать, что допустимыми значениями переменных у и z являются натуральные числа. Если в предложениях заменить переменные их допустимыми значениями, то получатся высказывания, которые могут быть как истинными, так и ложными. Например,

2 есть простое число;

3 есть четное число;

5 меньше 7;

3 есть общий делитель 6 и 12.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предложения с переменными, дающие высказывания в результате замены свободных переменных их допустимыми значениями, называются предикатами.

Предложения могут служить примерами предикатов.

По числу входящих свободных переменных различают предикаты одноместные, двухместные, трехместные и т. д. Предикаты (2) и (3) — одноместные, предикаты (1) и (4) — двухместные, предикат (5) — трехместный. Высказывания будем считать нульместными предикатами.

Заменяя в одноместном предикате (2) переменную натуральными числами, будем получать высказывания:

0 есть простое число;

1 есть простое число;

2 есть простое число;

3 есть простое число и т. д.

Некоторые из них являются истинными. Таким образом, данный одноместный предикат выделяет среди натуральных чисел те, при подстановке которых вместо переменной получается истинное высказывание, и его можно рассматривать как условие на значения свободной переменной, входящей в предикат. В данном случае числа, удовлетворяющие этому условию, — простые.

Одноместный предикат можно рассматривать как условие на объекты данного вида; двухместный — как условие на пары объектов данного вида и т. д.

Предикаты можно задавать различными способами. В алгебре часто рассматривают предикаты, заданные с помощью уравнений, неравенств, а также систем уравнений или неравенств. Например, неравенство задает одноместный предикат, уравнение — двухместный, а система уравнений — трехместный у, z — рациональные переменные).

Обозначать предикаты будем большими буквами латинского алфавита (возможно, с нижними индексами) с указанием в скобках всех свободных переменных, входящих в этот предикат. Например, — обозначение двухместного предиката, — трехместного и — обозначение -местного предиката.

В дальнейшем мы будем говорить об истинностном значении произвольного предиката на том или ином наборе входящих в него свободных переменных, понимая под этим истинностное значение высказывания, которое получается в результате замены свободных переменных соответствующими им значениями из рассматриваемого набора.

Высказывание, которое получается при подстановке в предикат набора допустимых значений вместо его переменных, будем обозначать Если это высказывание истинное (ложное), говорят, что набор значений удовлетворяет (не удовлетворяет) предикату

Отметим, что следует различать предикаты, выражающие одно и то же условие, но имеющие переменные с различными допустимыми значениями. Например, предикат, заданный уравнением где — целочисленная переменная, следует отличать от предиката, заданного тем же уравнением, если при этом рассматривается как рациональная переменная. Первый предикат не принимает значений И ни при каких допустимых значениях а второй принимает значение И при допустимом значении переменной Таким образом, при задании предиката нужно указывать область допустимых значений переменных этого предиката.