Кратные корни полинома.

Пусть — кольцо полиномов над полем — его основное множество.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть — полином из с — его корень в Элемент с называется корнем кратности (-кратным корнем), если при элемент с называется кратным корнем, а при — простым корнем полинома

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.5. Пусть — кольцо полиномов над полем нулевой характеристики и Элемент с из F является кратным корнем полинома тогда и только тогда, когда

Это предложение непосредственно следует из теоремы 1.9 и следствия 4.4.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.6. Пусть — кольцо полиномов над полем нулевой характеристики и Элемент с является -кратным корнем полинома f тогда и только тогда, когда

Доказательство. По теореме 4.3, элемент с тогда и только тогда будет -кратным корнем полинома f (т. е. — -кратный множитель полинома когда

В силу теоремы Безу условия (1) и (2) равносильны.