Кольцо полиномов от нескольких переменных.

Пусть — целое положительное число и N — множество всех натуральных чисел. Пусть и при

где — -мерный вектор.

По теореме Поэтому элементы кольца суть суммы вида

где — наибольшая из степеней полиномов Следовательно, элементы кольца можно записать в виде

где — непустое конечное подмножество множества

На основании теоремы 1.1 заключаем также, что элементы кольца суть суммы вида

где М — непустое конечное подмножество множества Такую сумму будем кратко записывать в виде

Напомним, что элемент кольца назьюается трансцендентным над , если для любых элементов кольца из равенства следуют равенства . Обобщением этого понятия является понятие алгебраической независимости совокупности элементов над .

Пусть — подкольцо коммутативного кольца X. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементы кольца X называются алгебраически независимыми над кольцом , если для любых элементов кольца из равенства

следует равенство нулю всех коэффициентов

При мы получаем определение элемента, алгебраически независимого над , которое совпадает с определением элемента, трансцендентного над .

ТЕОРЕМА 1.2. Пусть — подкольцо коммутативного кольца X и Элементы алгебраически независимы над тогда и только тогда, когда для каждого элемент является трансцендентным над

Доказательство. Предположим, что элементы алгебраически независимы над кольцом , и докажем, что для каждого элемент является трансцендентным над кольцом . Пусть

Слагаемые можно записать в виде

Тогда равенство (II) можно записать следующим образом:

В силу алгебраической независимости элементов над кольцом из (3) следует равенство нулю всех коэффициентов для поэтому для

Следовательно, для каждого элемент является трансцендентным над

Предположим, что для каждого элемент трансцендентен над , и докажем индукцией по , что из (I) следует равенство нулю всех коэффициентов а

Для утверждение, очевидно, верно. Предположим, что утверждение верно для совокупности элементов Запишем равенство (I) в виде

где

По условию, элемент трансцендентен над поэтому из (4) следуют равенства По индуктивному предположению, отсюда вытекают равенства

Следовательно, элементы алгебраически независимы над

Пусть — ненулевое коммутативное кольцо и — -кратное расширение кольца элементами По теореме и, значит, кольцо также является -кратным расширением кольца .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кольцо называется -кратным трансцендентным расширением кольца , если для любого кольцо является простым трансцендентным расширением кольца помощи

Отметим, что при -кратное трансцендентное расширение кольца является простым трансцендентным расширением кольца

ТЕОРЕМА 1.3. Пусть — ненулевое коммутативное кольцо. Для любого натурального , отличного от нуля, существует -кратное трансцендентное расширение кольца . При этом если — область целостности, то -кратное трансцендентное расширение этого кольца также является областью целостности.

Доказательство. На основании теоремы 14.1.2 о существовании простого трансцендентного расширения кольца можно последовательно строить кольца:

где — простое трансцендентное расширение кольца Ж при помощи — простое трансцендентное расширение кольца при помощи и т. д. Наконец, ( — простое трансцендентное расширение кольца при помощи (Согласно определению, предшествующему теореме, последнее кольцо является -кратным трансцендентным расширением кольца . При этом, по теореме 14.1.6, если — область целостности, то все построенные выше кольца являются областями целостности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кольцо являющееся -кратным трансцендентным расширением ненулевого коммутативного кольца называется кольцом полиномов над от

Иногда, если это требуется, элементы f, g и т. д. этого кольца будем также обозначать через и т. д.