2. Высший член и степень полинома.

Пусть причем Одночлен называется высшим членом полинома и показатель называется степенью и обозначается .

Нулевой полином не имеет высшего члена в смысле данного определения и считается, что он равен 0. Степень нулевого полинома условно считается равной символу

Предположим теперь, что кольцо А есть область целостности, т. е. что произведение двух элементов из А может равняться нулю, только если один из сомножителей равен нулю.

Пусть даны два полинома и из кольца причем . Тогда произведение содержит ненулевой одночлен , который будет, очевидно, высшим членом для ибо остальные произведения членов на члены имеют меньшую чем степень.

Отсюда непосредственно следует справедливость следующей важной теоремы:

Теорема 1. Если кольцо А есть область целостности, то кольцо полиномов — тоже область целостности.

В частности, кольцо полиномов над полем есть область целостности.

Из формы высшего члена произведения двух ненулевых полиномов следует, что степень произведения двух полиномов (над областью целостности) равна сумме степеней сомножителей. Это свойство сохраняется и в случае, когда один или оба сомножителя равны 0, если только условиться в правилах: при любом