6. Минимальный полином оператора.

Минимальным полиномом оператора действующего в пространстве S, называется полиномом наименьшей степени, аннулирующий все векторы пространства S, т. е. такой полином наименьшей степени, что

Обычным приемом деления с остатком легко убедиться в том, что если , то F(t) делится на минимальный полином. Поэтому минимальный полином является делителем характеристического.

Минимальный полином есть наименьшее общее кратное минимальных аннуляторов векторов базиса. Действительно, минимальный полином является кратным для всех таких аннуляторов и любое кратное аннуляторов векторов базиса аннулирует базисные векторы, а с ними и все векторы пространства.

Более общо, если пространство S есть сумма (не обязательно прямая сумма) инвариантных подпространств то минимальный полином оператора на 5 равен наименьшему общему кратному минимальных полиномов оператора на подпространствах Действительно, минимальный полином на S делится на минимальный полином на , т. е. является кратным для всех минимальных полиномов подпространств . Вместе с тем любое кратное этих полиномов, в частности, наименьшее общее кратное аннулирует все подпространства и их сумму 5.