§ 2. Действия над тензорами

1. Сложение и умножение на число.

Суммой двух тензоров одинакового типа называется тензор, компоненты которого равны суммам соответствующих компонент слагаемых:

То, что сумма тензоров действительно является тензором, ясно из формулы преобразования компонент при замене базиса.

Произведением числа а на тензор называется тензор, полученный из исходного умножением всех компонент на а:

Из этих определений ясно, что тензоры одинакового типа составляют векторнре пространство, размерность которого равна степени с показателем, равным полной валентности.

2. Умножение тензоров.

Произведением тензоров и называется система чисел в предположении, что все индексы независимо принимают допустимые значения. Легко видеть, что произведение тензоров есть тензор. Действительно, при замене базиса компоненты преобразуются по формуле

т. e. по формуле изменения компонент тензора пятикратно ковариантного и трехкратно контравариантного. При умножении тензоров их валентности складываются.

Аналогично определяется произведение любого числа тензоров.

Тензор называется разложимым, если его можно представить в виде произведения тензоров валентности 1.

Предложение 1. Любой тензор можно представить в виде линейной комбинации разложимых тензоров.

Доказательство. Зафиксируем базис пространства и рассмотрим векторы t и ковекторы составляющие дуальный базис. Их координаты равны нулю, кроме одной, равной единице. Тензор, равный произведению тензоров из координат этих векторов и ковекторов, имеет единственную компоненту, равную 1, и остальные нули, причем 1 можно получить в любом месте тензора. Следовательно, любой тензор является их линейной комбинацией.

Наименьшее число разложимых тензоров, линейной комбинацией которых является данный тензор, называется его рангом. Легко видеть, что тензор полной валентности 2 имеет ранг, равный рангу соответствующей матрицы. Вопрос об определении ранга полной валентности 3 и выше еще не получил алгорифмического решения в общем виде, и возможно, что даже вопрос о существовании алгорифма не является бесспорным.

3. Свертка.

Пусть имеется тензор имеющий как верхние, так и нижние индексы. Приравнивая один верхний индекс к одному нижнему, мы должны, по соглашению об обозначениях, просуммировать по этому индексу, и в результате получится система элементов, в верхних и нижних номерах которых останется на одну единицу меньше, так что можно положить . Эта операция называется сверткой тензора.

Предложение 2. Свертка произведения тензора на символ Кронекера, как по верхнему, так и по нижнему индексу этого символа, не меняет тензор по существу и сводится только к переименованию индекса.

Действительно, сумма имеет лишь одно слагаемое, отличное от нуля, именно то, для которого значение символа Кронекера равно 1, т. е. при . Поэтому . Аналогично, .

Предложение 3. Результатом свертки тензора является тензор.

Доказательство. Пусть дан тензор . Обозначим через Пусть замена базиса. Тогда компоненты тензора преобразуются по формуле

Переход к требует положить и просуммировать по v. Это дает

Но сумма сравна и сумма и k равна сумме Итак,

Это значит, что b действительно есть тензор.