§ 3. Внешняя алгебра

1. Определение внешней алгебры.

Под названием внешней алгебры известна ассоциативная алгебра, введение которой, в частности, полезно при построении теории интегрирования в многомерных пространствах. Внешняя алгебра (над данным полем К) строится, если задано некоторое векторное пространство над тем же полем. Элементами внешней алгебры являются формальные «внешние» произведения векторов, причем попарное умножение векторов считается антикоммутативным. Никаких соотношений, кроме тех, которые следуют из дистрибутивности, ассоциативности и антикоммутативности, при умножении векторов не предполагается. Строже определение внешней алгебры можно дать различными способами. Мы дадим следующее формальное определение.

Пусть - множество чисел, составляющее отрезок натурального ряда Символами будем обозначать подмножества множества N, включая само N и пустое множество 0. Каждому сопоставим базисный элемент внешней алгебры. Тем самым размерность конструируемой алгебры равна числу подмножеств множества N, т. е. Действие умножения во внешней алгебре обозначается знаком . Для базисных элементов оно задается следующим образом:

Здесь обозначает число инверсий, которое образуют числа, составляющие с числами, составляющими

2. Ассоциативность.

Докажем ассоциативность умножения во внешней алгебре. Пусть и — три подмножества множества N. Нам нужно доказать, что

Допустим сначала, что хотя бы одно из множеств непусто. В этом случае обе части равенства равны нулю. Действительно, левая часть равна нулю, ибо непусто либо либо Аналогично, правая часть равна нулю, ибо непусто либо либо

Теперь допустим, что Имеем

Но Поэтому

3. Градуировка.

Степенью базисного элемента внешней алгебры называется число элементов, составляющих Г. Элемент называется однородным, если все базисные элементы, входящие с ненулевыми коэффициентами, имеют одинаковую степень. Эта степень называется степенью однородного элемента. Нулевой элемент алгебры причисляется к однородным элементам любой степени. Ясно, что однородные элементы фиксированной степени k образуют линейное подпространство в пространстве внешней алгебры, и его размерность равна числу - элементных подмножеств множества N, т. е. числу сочетаний С. Ясно также, что произведение двух однородных элементов есть однородный элемент, степень которого равна сумме степеней сомножителей, если эта сумма не превышает . Если же сумма степеней двух однородных элементов больше , то их произведение равно нулю, ибо в этом случае подмножества, индексирующие любую пару базисных элементов, входящих в сомножители, имеют непустое пересечение.

Разложение внешней алгебры в прямую сумму подпространств однородных элементов называется ее градуировкой.

Вообще, алгебра конечной или бесконечной размерности называется градуированной, если она может быть разложена в прямую сумму подпространств причем если то Разумеется, если градуированная алгебра имеет конечную размерность, то пространства при достаточно больших k состоят только из 0. Примером градуированной алгебры может служить алгебра многочленов от одной или нескольких переменных. Эта алгебра имеет бесконечную размерность.

Элементы внешней алгебры нулевой степени являются кратными элемента который, очевидно, есть единица внешней алгебры.

Поэтому элементы нулевой степени естественно отождествить с элементами основного поля и называть скалярами. Элементы первой степени образуют -мерное пространство, натянутое на базисные векторы (мы обозначаем одноэлементные множества просто , что здесь не приведет к недоразумению). Элементы первой степени будем называть векторами и образованное ими пространство считать пространством, над которым построена внешняя алгебра.

Однородные элементы степени 2 называются бивекторами, степени 3 — тривекторами и т. общий термин — поливекторы. Как уже было сказано, пространство -векторов имеет размерность . В частности, пространство -векторов одномерно, его элементы имеют вид при пространство (-векторов -мерно, и вообще, пространства -векторов и -векторов имеют одинаковую размерность. Из определения произведения ясно, что если . Поэтому общий вид -вектора есть

Если -либо перестановка чисел то

Выписав индексы во всех возможных порядках и положив получим запись -вектора в тензорной форме: Совокупность коэффициентов составляет антисимметричный контравариантный тензор.

4. Свойства внешнего умножения векторов.

Предложение 1. Пусть f — вектор. Тогда Действительно, если , то , при

Предложение — два вектора. Тогда

Действительно,

Предложение 3. Если во внешнем произведении имеется хотя бы одна пара равных сомножителей, то оно равно нулю.

Действительно, попарно переставляя соседние множители, добьемся того, чтобы равные оказались рядом.

Предложение 4. Пусть — векторы и

— перестановка чисел Тогда

Доказательство. От расположения можно перейти к расположению посредством транспозиций соседних элементов. При каждой такой транспозиции меняется знак внешнего произведения. Четность или нечетность числа нужных транспозиций совпадает с четностью или нечетностью числа инверсий , что и доказывает предложение.

Пусть теперь даны векторы и пусть — подмножество множества Будем считать, что Внешнее произведение назовем стандартным (по отношению к выбранной нумерации векторов ) и обозначим через Ясно, что если индексы а составляют множество Г, так что лишь порядком отличаются от то

Это следует из предложения 4.

Предложение если если

Доказательство. Пусть

Тогда Если то среди множителей в последнем произведении найдутся равные, и произведение равно 0. Если же то

5. Автоморфизмы внешней алгебры.

Пусть векторы линейно независимы и число их равно размерности пространства векторов, так что они образуют базис. Докажем, что элементы когда Г пробегает все подмножества множества составляют базис внешней алгебры. Число элементов равно, очевидно, размерности внешней алгебры, так что нам достаточно показать, что элементы порождают внешнюю алгебру как векторное пространство. Но это почти очевидно — исходные базисные элементы являются линейными комбинациями и, следовательно, при любом есть линейная комбинация внешних произведений векторов взятых по К. Все такие произведения либо равны нулю, либо с точностью до знаков являются стандартными произведениями. Таким образом, стандартные произведения порождают в виде линейной комбинации все базисные элементы внешней алгебры, а значит, и все элементы внешней алгебры являются их линейными комбинациями, что и требовалось доказать.

Заметим, что из приведенного рассуждения следует линейная независимость всех стандартных призведений и, в частности, неравенство нулю каждого из них.

Итак, наряду с исходной системой базисных элементов внешней алгебры можно взять в качестве базиса любую систему , где — стандартные произведения, построенные, исходя из какого-либо базиса пространства векторов. В силу предложения таблицы умножения для одинаковы, т. е. переход от базиса к базису есть автоморфизм внешней алгебры. Сами элементы получаются из нумерованных базисов и пространства векторов одинаковым способом — посредством составления стандартных произведений для каждого

6. Условие линейной независимости векторов в терминах внешней алгебры.

Теорема 6. Для того чтобы система векторов была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. Пусть система линейно независима. Тогда ее можно дополнить до базиса . В силу сказанного в п. 5 стандартные произведения все отличны от нуля, в частности, .

Если же система линейно зависима, то один из ее векторов есть линейная комбинация остальных: и произведение есть линейная комбинация внешних произведений, в каждом из которых имеется пара равных сомножителей. Все они равны нулю. Тем самым теорема доказана.

7. Внешнее произведение n векторов.

Пусть , — система из векторов в пространстве с базисом

Матрицу коэффициентов обозначим через А.

Рассмотрим . Из предыдущего ясно, что это произведение есть однородный элемент степени , и, следовательно, лишь множителем а отличается от Из свойств внешних произведений мы можем без вычислений сказать о некоторых свойствах этого множителя. Из дистрибутивности внешнего умножения следует, что этот множитель есть линейная функция от каждого из сомножителей, т. е. линейная функция от элементов каждой строки матрицы А. Далее, этот множитель меняет знак при перестановке двух сомножителей, т. е. при перестановке двух строк матрицы. Наконец, если матрица А единичная, т. е. , то множитель а равен 1.

Мы знаем, что этими свойствами обладает определитель матрицы А, и, более того, можно показать, что определитель характеризуется этими свойствами. Таким образом, должна быть верна формула:

Убедимся в этом прямым вычислением. Имеем

Здесь индексы независимо пробегают значения . Значительная часть слагаемых в правой части равна нулю. Именно, это будет, если среди значений индексов встретится хотя бы пара равных. Если же значения попарно различны, то они образуют перестановку чисел , и тогда

Итак,

согласно определению определителя (под знаком суммы пробегает все перестановки чисел .

Заметим, что если базисные векторы ей заменить на любую систему векторов (быть может, зависимую), то в силу п. 4 все вычисления сохраняются, так что если

где — любая система векторов, то , где

Выведем теперь в качестве следствий из формулы (1) некоторые свойства определителей, ранее полученные другими средствами.

Следствие 1. Для того чтобы векторы были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы .

Для этого заключения достаточно сопоставить формулу (1) с теоремой 6.

Следствие 2 (теорема об определителе произведения двух квадратных матриц). Пусть

причем — линейно независимая система.

Тогда

причем

Применив формулу (1), получим, с одной стороны,

С другой стороны, Сравнив коэффициенты при получим .

Следствие 3 (формула для определителя ступенчатой матрицы). Пусть

Положим

Тогда, с одной стороны, . С другой стороны,

В последнем внешнем произведении мы можем опустить в выражениях слагаемые, содержащие ибо они аннулируются множителем . Поэтому

откуда

8. Внешнее произведение k линейных комбинаций m векторов при k < m.

Пусть

Пусть , причем Обозначим через -минор матрицы составленный из столбцов с номерами , т. е.

Через обозначим стандартное внешнее произведение

Предложение 7. Справедлива формула , где сумма распространена на все -элементные подмножества множества М.

Доказательство.

Здесь пробегают независимо значения 1, 2, m. Если среди а имеются равные, то соответствующие слагаемые равны нулю и их можно опустить. Остается

Оставшиеся теперь комбинации значений индексов составляют все элементные подмножества Г множества М, причем каждое подмножество встречается раз, ибо наборы а при данном составе элементов встретятся во всех возможных порядках. Пусть — элементы подмножества Г, расположенные в порядке возрастания: . Тогда наборы , поставляющие одно и то же подмножество Г, представляют собой перестановки чисел . Объединяя слагаемые, соответствующие одному и тому же подмножеству Г, и складывая получившиеся суммы для всех Г, получим

где пробегает все перестановки чисел .

Но . Поэтому получаем соглано определению определителя.

Заметим еще, что если ибо в этой ситуации векторы образуют линейно зависимую систему. В том же легко убедиться и формальной проверкой — в выражении через внешние произведения мы в каждом слагаемом будем встречаться с равными множителями.

Из доказанной формулы легко выводятся еще некоторые свойства определителей.

Следствие 4 (теорема Бине — Коши об определителе произведения двух прямоугольных матриц). Пусть

где , причем . Пусть Положим

Тогда где сумма распространена на все элементные подмножества множества . Доказательство. Пусть

причем линейно независимы. Тогда

Поэтому, с одной стороны, с другой стороны,

Ясно, что

откуда так что

Сравнение коэффициентов при дает , что и требовалось.

Заметим, что если , то ибо произведение обратится в 0 как внешнее произведение линейных комбинаций меньшего, чем k, числа векторов.

Следствие 5 (теорема Лапласа). Пусть квадратная матрица

разделена на две клетки, первая из которых имеет k строк, пусть Г есть -элементное подмножество множества

— его дополнение. Пусть — минор порядка натрицы составленный из столбцов, номера которых составляют и минор порядка матрицы номера столбцов которого составляют Г. Тогда

Доказательство. Пусть

Тогда

пробегает все -элементные подмножества, а — все элементные подмножества множества

Ясно, что если непусто, а пусто оно, только если Следовательно,

Пусть Все элементы, меньшие, чем , находятся в Г, поэтому составляет инверсий с элементами из Г, далее, все элементы, меньшие, чем , кроме , находятся в так что составляет инверсий с элементами из Г и т. д. Таким образом, . Итак, что и требовалось доказать.

Переставляя строки, легко доказать теорему Лапласа в общем случае, когда в матрице А выбраны любые k строчек. Мы предоставляем это читателю.

Следствие 6 (критерий линейной независимости в терминах ранга матрицы). Для того чтобы векторы аыеп были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один минор порядка матрицы был отличен от нуля.

Действительно, для линейной независимости необходимо и достаточно, чтобы . Но и для необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из миноров был отличен от нуля.

9. Внешняя алгебра над пространством Евклида.

Пусть в пространстве векторов имеется структура евклидова пространства, т. е. основное поле есть поле R вещественных чисел и в пространстве определено скалярное произведение. Пусть базис исходя из которого строится внешняя алгебра, ортонормален. Продолжим евклидову структуру на все пространство внешней алгебры, считая базис ортонормальный, так что скалярное произведение элементов равно

При таком соглашении однородные элементы разных степеней будут ортогональны, так что градуировка определяет разложение пространства внешней алгебры в прямую ортогональную сумму подпространств однородных элементов.

Предложение 8. Пусть системы векторов. Тогда скалярное произведение -векторов равно

В частности, квадрат длины -вектора равен определилителю Грама , т. е. совпадает с квадратом объема параллелепипеда, натянутого на векторы Доказательство. Пусть

Обозначим через миноры, «вырезаемые» множеством Г из матриц . Как мы уже знаем,

Поэтому в силу теоремы Бине — Коши ( — транспонированная матрица). Согласно правилу умножения матриц что и требовалось доказать.

Чтобы получить частный случай, включенный в формулировку предложения, достаточно положить

Заметим, что скалярное произведение векторов зависит лишь от скалярных произведений , т. е. от взаимного расположения этих двух систем векторов друг относительно друга, но не от выбора системы координат. В частности, отсюда следует, что если — ортонормальный базис исходного пространства и - стандартные произведения базисных элементов, то для двух -элементных подмножеств

ибо скалярные произведения векторов, составляющих равны соответствующим скалярным произведениям векторов, составляющих

Таким образом, ортогональное преобразование координат в пространстве векторов вызывает ортогональные преобразования во всех пространствах -векторов, а следовательно, и во всем пространстве внешней алгебры, ибо оно разлагается в прямую ортогональную сумму пространств поливекторов.

10. Внешнее произведение векторов как направленный объем.

Пусть задана упорядоченная система линейно независимых векторов в -мерном евклидовом пространстве .

Напомним, что объем параллелепипеда, натянутого на эту систему, равен квадратному корню из определителя Грама: .

Если — два базиса некоторого -мерного подпространства P в , то . Если системы одинаково ориентированы, если же , то их ориентации противоположны. Напомним, что если одинаково ориентированы, то существует непрерывный путь, соединяющий две эти системы, т. е. существует система векторов непрерывно зависящая от вещественного параметра , и такая, что и при любом t из промежутка система векторов остается базисом подпространства Р. Если же имеют противоположную ориентацию, то такого пути не существует.

Теперь докажем теорему, вскрывающую геометрическое значение внешнего умножения векторов.

Теорема 9. Пусть — линейно независимая система векторов в -мерном евклидовом пространстве и пусть — другая система векторов. Для того чтобы имело место равенство

необходимо и достаточно, чтобы системы порождали одно и то же подпространство в были бы в нем одинаково ориентированы и объемы были бы равны.

Доказательство. Докажем сначала необходимость. Пусть равенство (3) выполнено. Тогда при любом , будет и, следовательно, система линейно зависима, откуда в силу независимости следует, что Тогда так что Следовательно, системы порождают одно и то же подпространство и одинаково в нем ориентированы. Так как объемы равны.

Докажем теперь достаточность. Пусть порождают одно и то же подпространство, имеют одинаковые ориентации и . Тогда причем . Ясно, что

Доказанная теорема позволяет трактовать как «направленный объем» параллелепипеда, натянутого на . Действительно, это внешнее произведение определяет как величину объема, так и его «направление», т. е. подпространство, в котором этот объем сосредоточен, и ориентацию в этом подпространстве. В этом смысле внешнее произведение системы векторов обобщает векторное произведение пары векторов в трехмерном пространстве. Напомним, что векторное произведение равно по величине площади параллелограмма, натянутого на пару векторов, а его направление характеризует плоскость, порожденную парой векторов и ориентацию пары на этой плоскости.

11. Подпространства однородных элементов дополнительных степеней.

Пусть S и — подпространства однородных элементов степеней k и в пространстве внешней алгебры. Размерности этих подпространств совпадают. Если принадлежит одномерному подпространству элементов степени n. Пусть — какой-либо базис в Тогда . Ясно, что коэффициент есть при фиксированном v линейная функция от и. Очевидно что порожденное тем самым отображение в пространство сопряженное с S, линейно и его ядро состоит только из 0. Из совпадения размерностей следует, что это отображение есть изоморфизм. Так определенный изоморфизм пространств зависит от выбора базиса но зависит он определен с точностью до множителя где — матрица перехода от исходного базиса к другому. В частности, если то изоморфизм сохраняется при замене базиса на базис при

Если за исходный базис в пространстве S взяты элементы то сопряженным базисом в будет система элементов где непосредственно следует из закона умножения во внешней алгебре.

Допустим, что исходное пространство евклидово и базис ортонормальный. Тогда пространства S и имеют структуру евклидова пространства при ортонормальных базисах Напомним, что для евклидова пространства S имеется естественный изоморфизм между S и сопряженным пространством S, именно, образом элемента при этом изоморфизме является функционал . Наличие этого изоморфизма позволяет отождествить S и S. Эти соображения делают естественным введение следующего понятия. Будем считать, что элемент квазиравен элементу и писать и если U и v индуцируют в одинаковые функционалы, т. е. при любом имеет место равенство Ясно, что квазиравные - векторы имеют одинаковые координаты в базисах при

Отношение квазиравенства «почти симметрично», именно, если и то Отношение квазиравенства зависит от выбора базиса, но, очевидно, не изменяется при собственно ортогональном преобразовании координат. При несобственно ортогональном преобразовании квазиравные поливекторы превращаются в квазипротивоположные, т. е. если до преобразования было и то после преобразования станет и (конечно, при определении квазиравенства по отношению к новым базисным векторам). Это следует из того, что если получается из ей несобственно ортогональным преобразованием, то

Выясним теперь, какой элемент из квазиравен внешнему произведению линейно независимых векторов . С этой целью выберем в подпространстве Р, натянутом на ортонормальный базис причем так, чтобы ориентации системы векторов были одинаковы. Тогда где V — объем Дополним до ортонормального базиса пространства имеющего одинаковую ориентацию с исходным базисом Тогда, в силу сказанного выше,

Векторы составляют базис ортогонального дополнения к подпространству Р. Если в этом пространстве взять любую систему векторов имеющих одинаковую ориентацию с и с объемом параллелепипеда V, то Итак, если векторы ортогональны векторам объемы параллелепипедов, натянутых на одинаковы и ориентация системы векторов совпадает с ориентацией исходного базиса , то

Рассмотрим случай . В этом случае где — ортогональный к вектор, длина которого равна площади параллелограмма, натянутого на и ориентация совпадает с ориентацией исходного базиса. Таким образом, вектор квазиравный бивектору (при ), есть не что иное, как векторное произведение

Заметим, что квазиравенство равносильно равенству компонент этих поливекторов по отношению к базисам при Это равенство может быть сформулировано как равенство миноров порядка, составленных из первых k столбцов матрицы координат векторов их алгебраическим дополнениям.

Формальная проверка таких соотношений не совсем тривиальна.