Научная библиотека

Глава вторая. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА

1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Прежде чем приступить к обсуждению некоторых основных элементов теории факторного анализа, — это будет сделано в той мере, в какой необходимо для понимания практической процедуры выделения факторов, — необходимо изложить некоторые разделы математики, используемые этой теорией.

Для того чтобы освоить факторные методы на уровне, необходимом исследователям-«прикладникам», нужен некоторый объем математических знаний, которые прежде всего включают элементы, охватываемые программой средней школы. Сюда относятся основные сведения из алгебры и тригонометрии, а также такие элементы аналитической геометрии, как координаты и векторы на плоскости и в пространстве. Эти вопросы не будут рассматриваться в силу их элементарности, а также потому, что по данному предмету существует большая литература, включая школьные учебники.

Но это еще не все. Основное значение для теории факторного анализа имеет раздел математики, менее популярный и не входящий в программу общеобразовательных школ. Речь идет о понятии матриц и определителей. Эти понятия будут рассмотрены более подробно.

Во вступлении к своей основополагающей работе «Многофакторный анализ» Л. Тэрстоун подчеркивает, что трактовка основных положений факторного анализа в терминах матричного исчисления явилась переломным моментом, позволившим развить и обобщить исходные концепции Ч. Спирмэна.

Необходимо подчеркнуть, что именно Л. Тэрстоун впервые использовал матричную алгебру в факторном анализе. Мы познакомимся более основательно с теми математическими понятиями, которые, как правило, мало известны «прикладникам» и в то же время не настолько трудны, как может показаться с первого взгляда. При этом мы максимально подробно рассмотрим лишь элементы, необходимые для дальнейшего изложения, так как цель данной главы заключается не в углублении и основательном рассмотрении различных понятий и математических проблем, связанных с факторным анализом, а скорее в ознакомлении читателя с терминологией и самым общим характером зависимостей, с которыми чаще всего сталкиваются при использовании факторных методов.

а. МАТРИЦА. ПОРЯДОК И РАНГ МАТРИЦЫ

Матрицей называется прямоугольная или квадратная таблица чисел, рассматриваемая безотносительно к тому, что именно представляют собой эти числа и существуют ли между ними какие-то заранее определенные зависимости. Вертикальный ряд чисел, расположенных в матрице одно над другим, называется столбцом, горизонтальный ряд чисел — строкой. Матрица, в которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. В тех случаях, когда нужно обозначить какие-либо элементы матрицы, им приписываются соответствующие индексы, первый из которых указывает номер строки, а второй — номер столбца, в котором находится данный элемент.

Схема 2.1. Квадратная матрица 4X4

Таким образом, в квадратной матрице, показанной на схеме. 2.1, символ обозначает элемент, находящийся на пересечении второй строки третьего столбца. Вся матрица обозначается буквой А. С обеих сторон матрица ограничивается двумя вертикальными линиями. Это помогает отличить ее от определителя. Некоторые авторы используют для этого обычные квадратные или фигурные скобки. О матрице, имеющей строк и столбцов, говорят, что ее порядок составляет . Квадратная матрица имеет порядок .

В общем виде матрица записывается следующим образом:

Схема 2.2. Общая запись матрицы

В первой строке этой матрицы находятся элементы что означает лишь то, что матрица содержит столбцов. Если еще раз взглянуть на элементы первого столбца то можно убедиться, что матрица включает строк. Общий элемент матрицы записывается в виде где i (индекс строки) может принимать последовательные значения (индекс столбца) может принимать последовательные значения . Матрица А может обозначаться через ее общий элемент

б. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ

Это важное понятие, часто встречающееся в факторном анализе. Представим себе, что строки матрицы А становятся столбцами, в результате чего возникает новая матрица, которая будет транспонированной по отношению к А. Обозначим новую матрицу А. Дадим пример транспонирования матрицы

Схема 2.3.

в. СИММЕТРИЧЕСКАЯ МАТРИЦА

Если матрица А квадратная и совпадает с транспонированной к ней матрицей, то матрица А симметрична. Другими словами, квадратная матрица А симметрична, если . Пример симметрической матрицы дает схема 2.4.

Схема 2.4. Симметрическая матрица

Если элементами матрицы являются коэффициенты корреляции данной совокупности переменных, то эта матрица симметрическая. В факторном анализе, как правило, встречаются именно такие ситуации.

г. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ

Матрицы можно умножить друг на друга. Операция умножения часто встречается в факторном анализе и поэтому мы обсудим ее подробнее. Не вдаваясь глубоко в теорию вопроса, ограничимся описанием практических правил умножения матриц.

Правила эти гораздо сложнее правил умножения в арифметике. Первое отличие между умножением в арифметике и в матричной алгебре состоит в том, что при умножении матриц не действует закон коммутативности, в соответствии с которым произведение не зависит от порядка, в котором стоят сомножители. Если умножаются матрицы, их произведение в общем случае зависит от этого порядка. Другими словами, .

Для умножения матрицы А на матрицу В необходимо выполнение следующего условия: матрица А должна иметь столько столбцов, сколько строк в матрице В. Сам процесс умножения исходит из правила «строка на столбец». Это правило означает, что каждый элемент матрицы-произведения представляет собой сумму произведений от умножения элементов строки первой матрицы на соответствующие элементы столбца второй матрицы. Процесс умножения иллюстрирует схема. 2.5.

Схема 2.5. Умножение матриц

Таким образом, элемент, стоящий на пересечении второй строки и третьего столбца матрицы С, образуется путем последовательного умножения элементов второй строки матрицы А (в нашем случае элементов ) на соответствующие элементы третьего столбца матрицы и суммирования произведений. В приведенном примере каждый элемент матрицы-произведения представляет собой сумму двух произведений.

Если бы матрица А имела 3 столбца, а матрица В — три строки, то каждый элемент матрицы-произведения являлся бы суммой трех произведений.

Матрица, представляющая собой произведение двух матриц, будет иметь всегда столько строк, сколько их было в первой матрице, и столько столбцов, сколько их было во второй матрице. Если матрица порядка () умножается на матрицу порядка , то их произведение будет иметь порядок ().

д. ВИДЫ МАТРИЦ, ЧАЩЕ ВСЕГО ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ В ФАКТОРНОМ АНАЛИЗЕ

Диагональная матрица. Это квадратная матрица, в которой отличны от нуля только элементы, лежащие на главной диагонали. Главной диагональю называется линия, связывающая левый верхний угол с правым нижним углом матрицы.

Диагональная матрица имеет такой вид:

Скалярная матрица. Если все элементы диагональной матрицы равны между собой, то такая матрица называется скалярной. Скалярная матрица имеет следующий вид:

Единичная матрица. Это диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице. Единичная матрица четвертого порядка выглядит так:

Единичная матрица обозначается символом . Интересно отметить следующую особенность единичной матрицы: если квадратную матрицу А умножить на единичную матрицу того же порядка, что и матрица А, то получим матрицу А, независимо от того, в каком порядке стоят сомножители. Таким образом,

Единичная матрица выполняет в матричной алгебре ту же роль, что и единица в арифметике.

Обратная матрица. Выше уже была рассмотрена операция умножения матриц. В матричном исчислении существует операция, соответствующая делению в арифметике. Всем известна простая зависимость, которую можно представить в виде:

Эта зависимость означает, что произведение любого числа на обратное ему число равно единице. В матричной алгебре существует такая же связь. Если матрица А квадратная и невырожденная, то существует такая матрица, обозначаемая символом и называемая обратной к матрице А, что

Матрица в определенном смысле аналогична обратному числу в арифметике, однако способ вычисления обратной матрицы довольно сложен.

Можно найти и другие аналоги с арифметикой. Известно, что при переносе какого-либо сомножителя с одной стороны уравнения на другую он становится обратной величиной:

Имея дело с матрицей, являющейся сомножителем, нужно поступать аналогично. Такая матрица, перенесенная на другую сторону уравнения, будет иметь вид обратной матрицы:

Необходимо подчеркнуть, что если матрица А стояла слева от В, то обратная матрица должна также стоять слева от матрицы С. Поэтому было бы неправильно писать

е. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Излагая некоторые наиболее общие положения теории определителей, мы ограничимся теми элементами, которые чаще всего встречаются в практике факторного анализа. Какова разница между определителем и матрицей?

Определитель — это некоторое числовое значение, характеризующее рассматриваемую квадратную матрицу. Таким образом, каждой квадратной матрице сопоставляется некоторое числовое значение, вычисляемое по определенным правилам.

Если квадратная матрица обозначается символом А, то ее определитель — символом Определитель матрицы имеет порядок . Если определитель записывается в форме таблицы, то в отличие от матрицы по его обеим сторонам будет находиться по одной вертикальной линии. Определитель второго порядка будет иметь следующий вид:

Вычислять определители высоких порядков сложно. Поэтому мы ограничимся простым примером вычисления приведенного определителя второго порядка. Значение определителя рассчитывается по формуле

Легко видеть, что если имеет место равенство

то определитель равен нулю. В этом случае говорят, что определитель обращается в нуль.

Напомним еще одно понятие, связанное с определителями и используемое в факторном анализе. Если у данного определителя вычеркнуть одно и то же число столбцов и строк, то мы получим минор.

Возьмем, к примеру, определитель третьего порядка

Из этого определителя можно получить некоторое число миноров второго порядка, если вычеркивать по одной строке и одному столбцу. Легко видеть, что таких миноров будет 9, так как определитель содержит 9 элементов, из которых каждый может стоять на пересечении вычеркиваемой строки и столбца.

Так, если мы вычеркнем третий столбец и третью строку, пересекающиеся в том месте, где стоит элемент то получим минор

Если вычеркивается первая строка и второй столбец, пересекающиеся там, где стоит элемент то получается минор

Если из определителя третьего порядка вычеркнуть какие-либо два столбца и две строки, то минор будет состоять только из одного элемента. В этом смысле каждый элемент определителя можно рассматривать как минор.

ж. РАНГ МАТРИЦЫ

В заключение рассмотрим еще проблему ранга матрицы. Для уяснения этого важного для факторного анализа понятия нужно прежде рассмотреть вопрос линейной зависимости между строками или столбцами матрицы

Схема 2.6. Матрица, в которой строки и столбцы линейно зависимы

Пусть дана матрица изображенная на схеме 2.6. При ее внимательном рассмотрении видно, что вторую строку можно получить, умножив каждый элемент первой строки на 2. Третья строка получается путем умножения каждого элемента первой строки на 3, а четвертая — путем умножения каждого элемента первой строки на 4. Необходимо подчеркнуть, что используемые в примере множители могут быть любыми. Наиболее существенно то, что для каждой строки i данной матрицы существует такое число что выполняется равенство

Другими словами, каждая строка нашей матрицы может быть выражена при помощи элементов первой строки и некоторого числа.

О каждой такой паре строк, в которых одну строку можно выразить при помощи элементов первой строки и некоторой постоянной, говорят, что эти строки линейно зависимы. Легко видеть, что все элементы таких двух строк пропорциональны друг другу. Нетрудно также убедиться, что пропорциональными будут и столбцы матрицы.

Возможны случаи, когда строки матрицы могут быть линейно связаны с двумя или более строками. В этом случае также имеет место линейная зависимость.

В нашем случае все строки линейно зависят от первой строки матрицы; то же относится и к столбцу. Например, второй столбец образован умножением всех элементов первого столбца на 2/3. Для других столбцов такими числами будут 1/3, 5/3, 4/3, 7/3.

Если какие-либо две строки матрицы непропорциональны, т. е. одна из них не может быть выражена через другую с помощью какого-либо числа, то такие строки линейно независимы.

Вернемся к понятию ранга матрицы. С учетом вышесказанного ранг матрицы можно определить как максимально возможное число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

В нашем примере (схема 2.6) каждая строка может быть выражена при помощи элементов одной строки и некоторых чисел. Поэтому ранг этой матрицы 1. При этом легко видеть, что исчезают, точнее обращаются в нуль, все миноры второго порядка.

Если представить себе матрицу, в которой каждая строка может быть линейно выражена через две первые строки, то ранг этой матрицы будет равен 2, так как у нее две линейно независимые строки. Тогда из определителя матрицы исчезают все миноры третьего порядка.

Можно также указать, что если ранг матрицы d, то в ней существует такой набор из d строк или столбцов, что каждая другая строка или столбец матрицы могут линейно выражаться через строки или столбцы набора.

Таков подход к рангу матрицы с математической точки зрения. О значении этого понятия в теории факторного анализа мы будем говорить ниже.