ж. НЕЗАВИСИМОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ОТ КОНФИГУРАЦИИ ВЕКТОРОВ

Делая вводные замечания, мы уже указывали, что одна из основных задач многофакторного анализа, заключающаяся в определении нагрузок разных факторов для разных переменных данной совокупности, не имеет математически однозначного решения.

Используя уже знакомые нам термины, можно сказать, что факторная матрица F, полученная в результате анализа, не есть единственно возможная.

Чтобы уяснить это, нужно вспомнить некоторые приведенные ранее зависимости. Прежде всего вспомним, что существует строгая связь между корреляционной матрицей и конфигурацией векторов. Конфигурация дает корреляционную матрицу в геометрическом смысле. Такая же связь существует между факторной матрицей и факторной структурой. Однако ни в корреляционной матрице, ни в конфигурации векторов нет системы координат, представляющей факторы. Эта система присутствует в факторной структуре и в факторной матрице. Нельзя, однако, определить факторную структуру, пока на конфигурацию не будет наложена система координат. Только тогда можно говорить о проекциях векторов на оси координат, соответствующие факторным нагрузкам.

Развивая это утверждение, вспомним еще раз последовательные этапы многофакторного анализа, используя уже знакомые нам понятия.

Анализ начинается с матрицы корреляций (R) между переменными данной совокупности. Цель заключается в получении факторной матрицы F, которая позволит воссоздать корреляции, содержащиеся в R, с учетом основной теоремы факторного анализа, выраженной уравнением

Каким образом можно представить себе эту цель с геометрической точки зрения? Для ее достижения нужно определить ранг матрицы R, который, с одной стороны, равен размерности, необходимой для построения конфигурации векторов, представляющих переменные, а с другой, равен числу столбцов факторной матрицы F.

Уже на этом этапе можно, во-первых, однозначно изобразить конфигурации векторов и, во-вторых, наложить на нее систему осей координат для получения факторной структуры (рис. 3.8).

Наложив систему осей координат на конфигурации векторов так, чтобы начало координат (О) совпало с точкой, откуда выходят все векторы конфигурации (рис. 3.8, в), можно определить проекции всех векторов на каждую из осей.

Рис. 3.8. Конфигурация, система координат и факторная структура в двумерной задаче: а) конфигурация; б) система координат; в) факторная структура

Рис. 3.9. Два положения системы координат относительно одной и той же конфигурации векторов в двумерной задаче

Эти проекции образуют элементы факторной матрицы F. Ясно, что нельзя получить матрицу F до тех пор, пока система координат не будет наложена на конфигурации векторов. Ясно также, что положение системы координат относительно конфигурации может быть различным. Здесь мы и подошли к сути проблемы: численные значения проекций всех векторов, представляющих переменные, на оси, соответствующие факторам, зависят от положения системы координат относительно конфигурации векторов (рис. 3.9).

Поскольку таких положений может быть бесконечно много, получаем бесчисленное множество совокупностей факторных нагрузок (проекций векторов на оси). Другими словами, можно построить бесчисленное количество факторных матриц F, каждая из которых воссоздает (в границах ошибок выборки) данную корреляционную матрицу R.

Отсюда следует, что задача определения на основе матрицы соответствующей ей матрицы F не имеет однозначного решения. Для получения такого решения необходимо ввести в задачу некоторые условия или ограничения, которые подробно будут рассмотрены в главе, посвященной вращению осей координат.