2. ПРОСТАЯ СТРУКТУРА

Определение такого истинного положения системы координат, дающее наиболее эффективные результаты, представляет собой одну из наиболее трудных и тонких проблем факторного анализа.

Правильное осуществление процесса вращения требует определенных знаний и опыта как в области самого факторного анализа и его техники, так и в области той науки, где используется факторный анализ. Исчерпывающее изложение этой проблемы выходит за рамки данной работы, в которой можно подробно рассмотреть лишь один метод вращения. Этот метод широко применяется в практике и является, по-видимому, наиболее подходящим инструментом определения наилучшего положения системы координат. Концепция метода принадлежит Тэрстоуну, создателю центроидного метода, и носит характер стремления к так называемой «простой структуре». Точно определить термин «простая структура» с помощью нескольких слов нелегко. Сильно упрощая, можно в самом общем виде сказать, что стремление к простой структуре обусловлено двумя основными соображениями:

1) целесообразностью получения максимального числа больших факторных нагрузок; в случае анализа способностей целесообразно определить максимальное количество положительных нагрузок;

2) целесообразностью получения наибольшего числа нулевых или относительно близких к ним нагрузок, которое возможно для данной системы переменных.

Так как приведенные соображения на первый взгляд выглядят противоречивыми, обратимся снова к геометрической иллюстрации проблемы с помощью упрощенного примера двух перепендикулярных факторов (рис. 5.4.)

Рис. 5.4

Рис. 5.5

В соответствии со сделанными выше предположениями точка на графике соответствует концам векторов, представляющих переменные. Как видно, отдельные группы точек размещены на графике таким образом, что одни из них лежат около оси и вдалеке от начала координат, т. е. имеют большую по величине нагрузку фактора и незначительные (близкие к нулю) нагрузки факторов тогда как другие лежат около оси и далеко от начала координат, т. е. характеризуются большими нагрузками фактора и незначительными нагрузками фактора

В основе концепции «простой структуры» Тэрстоуна лежит общее предположение, что в случае выбора между многими гипотезами, одинаково хорошо объясняющими обнаруженные факторы, нужно принять наиболее простую из них, требующую минимального числа вспомогательных гипотез. «Простота» такой структуры факторных нагрузок заключается в этом случае в том, что каждая переменная имеет относительно наиболее простое факторное объяснение, т. е. характеризуется доминирующим влиянием какого-то одного фактора, и наоборот, данный фактор характеризует лишь некоторые из совокупности изучаемых переменных.

В многомерных системах эта проблема будет выглядеть гораздо сложнее, однако принцип остается тем же. Если, например, в трехмерной системе определяется такое положение факторной оси, которое давало бы максимально возможное число точек с нулевыми или близкими к ним проекциями на нее, то, другими словами, отыскивается плоскость, которая перпендикулярна к этой оси и проходит через начало координат и в которой находится большинство интересующих нас точек (рис. 5.5).

На рис. 5.5 хорошо видно, что перемещение оси в положение дает нулевые проекции на эту ось всех точек, лежащих в плоскости, перпендикулярной к и проходящей через начало координат. Такая плоскость на языке факторного анализа называется гиперплоскостью данного фактора. Содержание простой структуры строго можно определить как предельное распределение долей факторов у различных переменных. Читатель может усомниться в обоснованности утверждения Тэрстоуна о том, что простая структура действительно дает наилучшее положение системы координат. Наиболее веским доказательством правильности принципа простой структуры являются, очевидно, экспериментальные данные, основанные на фактах. В настоящее время результаты многих сотен исследований в области психологии, социологии и физиологии, выполненных методом факторного анализа, свидетельствуют в пользу принципа простой структуры. Умело выполненная процедура вращения в подавляющем большинстве случаев приводит к системе простой структуры. Характерно то, что на основе каждого, даже совершенно случайного набора коэффициентов корреляции, записанного в виде матрицы, можно получить какие-нибудь факторы. Однако рисунки не дают изображения простой структуры, т. е. с их помощью нельзя увидеть гиперплоскость. Группировки точек, входящих в простую структуру, представляют собой своего рода «улики», выводящие на след каких-то действительных причин, влияющих на изучаемые корреляции. Необходимо, однако, помнить, что иногда даже там, где из каких-то других источников известно о существовании выделенных факторов, простая структура может не обнаруживаться в явной форме в результате искажений, вызванных ошибками наблюдений и вычислений.

И наоборот, иногда получается так, что совершенно случайная система точек может дать явное изображение простой структуры, хотя в действительности ее, вообще говоря, не существует. Это не единственные трудности, на которые можно натолкнуться в поисках наилучшей системы координат. Процедура вращения весьма сложна и требует большой осторожности и внимания.

Необходимо отметить также, что кроме простой структуры существуют и другие критерии определения наилучшего положения системы координат. Их можно применять одновременно с поиском простой структуры. Некоторые из них требуют непосредственного учета характера изучаемых переменных и результатов исследований в области, где используется факторный анализ. Укажем лишь несколько таких критериев:

1) при вращении можно руководствоваться стремлением к согласованности результатов с достижениями исследований, выполненных другими методами;

2) можно руководствоваться стремлением к согласованности результатов с факторами, определенными в ранее выполненных работах по факторному анализу;

3) если в конфигурации векторов существуют большие пучки корреляций, то можно стремиться провести оси координат через их центр;

4) можно стремиться к определению совокупностей факторных нагрузок, согласующихся с какими-либо общими предположениями данной отрасли науки.

Перейдем к иллюстрации процесса вращения с помощью примера с шестью переменными.