и. ТРЕХМЕРНЫЕ МОДЕЛИ

Рассмотрение этого случая начинается с утверждения, что конфигурацию векторов можно представить в виде физической модели, если ранг матрицы меньше 4. Двумерную задачу можно представить на плоскости, трехмерную — в трехмерном пространстве. До сих пор мы использовали двумерные случаи. Это были особые примеры, в которых для объяснения корреляций было достаточно только двух общих факторов. Однако уже априори очевидно, что в случае большего числа переменных для объяснения найденных корреляций может потребоваться больше факторов. На практике, когда имеют дело с экспериментальными данными, часто даже при малом числе переменных конфигурация векторов может не поместиться в одной плоскости. Уже три вектора, представляющих три переменные, не укладываются в одной плоскости, если не выполняется некоторое специальное условие, иллюстрируемое рис. 3.10. Сумма углов должна быть в точности равна углу . В противном случае три вектора не образуют веера в одном пространстве и будут иметь вид, по образному сравнению Кеттелла, пучка спиц частично открытого зонта.

Рис. 3.10

Для объяснения таких трех коэффициентов корреляции необходимо третье измерение.

В случае трех общих факторов редуцированную корреляционную матрицу можно также представить с помощью совокупности векторов, скалярные произведения которых являются соответствующими коэффициентами корреляции. Конфигурация векторов помещается в трехмерном пространстве, когда ранг редуцированной корреляционной матрицы равен 3 и когда предполагается существование трех ортогональных факторов. Для такой конфигурации можно построить (вслед за Тэрстоуном) наглядную модель из простых материалов, например из шарика, сделанного из пробки, и обычных шпилек, изображающих векторы. Такая модель показана на рис. 3.11.

Здесь также корреляция между каждой парой переменных равна скалярному произведению , где и — длина шпилек, а — угол между ними. Как и ранее, длина каждой шпильки равна корню квадратному из общности данной переменной . Уже предварительный анализ некоторых бросающихся в глаза свойств конфигурации векторов позволяет приблизительно оценить некоторые характерные свойства корреляционной матрицы. Например, модель, изображенная на рис. 3.11, не имеет тупых углов между шпильками. Вся конфигурация помещается в пределах прямого угла. Это означает, что корреляционная матрица включает положительные или нулевые коэффициенты корреляции. Каждому нулевому коэффициенту соответствуют два взаимно перпендикулярных вектора. Большим положительным коэффициентам корреляции соответствуют небольшие острые углы. Если несколько переменных сильно коррелируют друг с другом, соответствующие векторы изображают нечто, напоминающее пучок стрел в колчане. В этом случае мы получаем «связку» векторов, соответствующую «связке» корреляций. Эти термины вошли в арсенал терминологии факторного анализа. Связки корреляций играют важную роль в процедурах выделения факторов, являясь как бы первой уликой, выводящей на след скрытых за ними предполагаемых факторов, обусловливающих высокую корреляцию.

На рис. 3.12 изображен типичный пример конфигурации, охватывающей три пучка векторов. Векторы, образующие пучок, соответствуют сильно коррелированным переменным. Между переменными отдельных пучков корреляции невелики; если пучки примерно перпендикулярны, то эти корреляции будут близки к нулю.

Рис. 3.11

Рис. 3.12

Этот случай и изображен. Конфигурация этого типа предполагает допущение, что вся совокупность корреляций обусловливается тремя статистическими независимыми параметрами. Оси, представляющие эти параметры, должны проходить через центры пучков и быть взаимно перпендикулярными.

Следы пучков можно обнаружить при анализе корреляционной матрицы, не прибегая к пространственной модели, так как эта матрица показывает высокие корреляции для определенных групп переменных и низкие корреляции между переменными разных групп.

Рассмотрим еще один тип конфигурации, изображенный на рис. 3.13 и имеющий большое значение для дальнейшего изложения. В этом случае шпильки, соответствующие векторам, расположены в трех перпендикулярных плоскостях, а конфигурация образует пирамиду с треугольным основанием и вершиной в центре шарика. Все векторы лежат на стенах пирамиды и выходят из ее вершины.

Рис. 3.13

Рис. 3.14

Рис. 3.15

При такой конфигурации векторов можно предполагать, что все корреляции обусловливаются тремя факторами и (это более существенно) что три фактора могут быть представлены тремя осями, совпадающими с ребрами пирамиды, выходящими из одной вершины. Иначе говоря, оси такой системы координат будут располагаться вдоль линий, лежащих на пересечении боковых сторон пирамиды.

Каждый вектор такой конфигурации лежит в одной из трех плоскостей, образуемых соответствующей парой осей координат. В результате каждый вектор может быть определен проекциями только на две из трех осей (проекция на третью ось равна нулю). Такой тип конфигурации со всеми векторами, лежащими на сторонах пирамиды, можно легко представить с помощью модели из картона. Ее можно сконструировать, например, отрезая угол какой-либо картонной коробки. С помощью такой модели (рис. 3.14) легко просматриваются свойства указанной конфигурации.

Кратко напомним еще один распространенный способ изображения конфигурации векторов в трехмерных задачах. Этот способ заключается в размещении конфигурации в границах шара с радиусом, равным 1. Затем длина всех векторов доводится до единицы. После этого концы векторов можно представить как точки на поверхности этого шара с радиусом, равным 1. На практике поступают таким образом, что на поверхности деревянного шара обозначают точки, в которых она прорезается тремя перпендикулярными осями. Соединяя эти точки линиями, получают чертеж равностороннего сферического треугольника. Стороны треугольника будут линиями пересечения поверхности шара плоскостями, обозначенными осями. Если оси этой системы обозначить буквами А, В и С, а концы векторов — кружочками, то описанная конфигурация будет изображаться на рис. 3.15.

Приведенный выше способ представления конфигурации векторов позволяет в доступной форме иллюстрировать различные задачи и облегчает предварительный анализ материала. Здесь мы опускаем расчетную и техническую сторону процедуры, с которой читатель может ознакомиться в работе Тэрстоуна по многофакторному анализу.

Заканчивая этот раздел, являющийся введением в некоторые основные понятия факторного анализа, дадим (следуя Тэрстоуну) краткое резюме описанных геометрических концепций, касаясь лишь их важнейших моментов.

1. Для того чтобы выписать факторную матрицу, на конфигурацию векторов нужно наложить оси координат.

2. Так как полученная экспериментальным путем корреляционная матрица не определяет осей системы координат, любая факторная матрица является, по существу, лишь факторной интерпретацией данных корреляций.

3. Элементы строки матрицы ортогональных факторов образуют независимые компоненты вектора данной переменной.

4. Столбец факторной матрицы представляет собой ось координат или фактор в факторной структуре.

5. Геометрическим аналогом факторной матрицы является факторная структура, объединяющая в себе векторы и систему координат.

6. Каждому фактору соответствует ось, длина которой находится в границах от +1,0 до —1,0.

7. Корреляционную матрицу можно рассматривать как множество скалярных произведений всех пар векторов, представляющих переменные.

8. Длина каждого вектора равна положительному корню квадратному из его общности.

9. Корреляционная матрица с известными элементами главной диагонали однозначно определяет конфигурацию векторов, которую можно представить с помощью физической модели, если ранг матрицы меньше 4.

10. Корреляционная матрица не определяет системы координат.

11. Корреляционную матрицу можно представлять в виде конфигурации векторов, и наоборот, не теряя при этом какого-либо количества информации.

12. Положительному коэффициенту корреляции соответствует пара векторов, образующих острый угол.

13. Отрицательному коэффициенту корреляции соответствует пара ректоров, образующих тупой угол,