2. МНОГОФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И КОНЦЕПЦИЯ СПИРМЭНА

Приступая к рассмотрению проблемы, нужно ответить на вопрос, который иначе может явиться источником ряда недоразумений. Выше мы часто пользовались терминами «генеральный фактор», «общий фактор», «групповой фактор». Дадим определения этих названий в соответствии с тем смыслом, с которым они используются в факторном анализе. В основу положим отношение фактора к определенному множеству переменных.

«Генеральным» называется фактор, относящийся ко всем переменным данной матрицы. «Общим» называется фактор, относящийся по крайней мере к двум переменным. «Специфичным» называется фактор, относящийся лишь к одной переменной; о его существовании свидетельствует то, что всю дисперсию данной переменной нельзя приписывать общим факторам. Отметим, что образующийся остаток распадается на специфические изменения и ошибки. Значение термина «групповой фактор» близко к значению термина «общий фактор». Он используется в первую очередь там, где речь идет о чем-то общем, какой-то определенной группе переменных. Например, группа арифметических тестов в большой серии тестов интеллектуальных способностей может быть помимо общего, присущего всем тестам серии, образующих матрицу, дополнительно связана групповым числовым фактором М.

Здесь нужно отметить некоторые более общие понятия. Противопоставление генерального и групповых факторов горячо дискутировалось во времена Спирмэна и в последующий период. Это объяснялось тем, что первоначальная трактовка генерального фактора была в некотором смысле абсолютной, другими словами, школа Спирмэна видела в нем фактор, относящийся ко всем возможным тестам. Однако дальнейшее развитие показало, что термин «генеральный фактор» имеет скорее всего относительное значение. То «общее», что есть в данной серии переменных, в большой степени зависит от подбора этих переменных. Если в матрицу записать корреляции лишь тестов интеллектуальных способностей, то общим фактором будет показатель g Спирмэна. Если подобрать одни тесты механических способностей, то общим будет фактор механических способностей М.

С этой точки зрения более целесообразно подчеркивать относительное значение терминов «генеральный» и «групповой» факторы применительно к некоторым корреляционным матрицам. В более широком смысле лучше говорить об общих факторах, соответствующих большей или меньшей группе переменных.

Такие же мысли вызывает понятие «специфичные факторы». Обычно они трактуются как неповторимые. Однако во многих случаях они могут рассматриваться как общие факторы, соответствующие малым группам. Если в состав серии тестов интеллектуальных способностей ввести тест ловкости пальцев, то, несомненно, ему будет соответствовать большая специфичность. Напротив, тот же тест в группе различных тестов ловкости и координации движений будет характеризоваться преобладанием общности.

Специфичность этого теста передается в значительной степени родственным тестам. Представляется, что генеральные, групповые и специфичные факторы можно понимать в широком смысле как общие, различающиеся соответствующими группами переменных.

Вернемся к главной проблеме соотношения многофакторного анализа и обобщения концепции Спирмэна. Для этого вспомним понятие ранга матрицы. Как определить ранг матрицы? Это можно делать, также формулируя все возможные тетрады для данной корреляционной матрицы и определяя, будет ли каждая из них в точности равна нулю. Если выписанные выше уравнения справедливы, то ранг матрицы не превышает 1.

В терминах факторного анализа это означает, что матрица содержит один общий фактор в соответствии с критерием «тетрад» Спирмэна. Если по крайней мере одна из них не равна нулю (опуская ошибку вычислений), то ранг матрицы не меньше 2. Дальнейшее исследование матрицы представляет собой довольно трудную проблему. Необходимо вычислять величины всех тетрад, которые не равны нулю, и составить из них новые тетрады. Если эти уравнения равны нулю, ранг матрицы не превышает 3.

Что это означает? Приведем часто цитируемые слова Тэрстоуна из введения к его основной работе по многофакторному анализу [203]: «В 1931 г. было решено исследовать зависимость между многофакторным анализом и тетрадами Спирмэна. Когда я выписал это уравнение, чтобы приступить к исследованию, то заметил, что оно является попросту развернутой формой минора второго порядка. После этого связь стала очевидной. Можно было бы выдвинуть ряд предположений о том, насколько ускорилось развитие факторного анализа, если бы это открытие было сделано раньше. Если для определения одного общего фактора должн быть равны нулю миноры второго порядка, то должны ли быть равны нулю при определении двух общих факторов миноры третьего порядка? Такой подход к проблеме ускорил бы ее решение, так же как и устранил бы препятствия на пути развития многофакторного анализа. Вместо того, чтобы оперировать пропорциональными столбцами и строками иерархии и нулевыми тетрадами, в настоящее время мы используем те же зависимости, опираясь на свойства ранга, равного 1, заключающиеся в пропорциональности столбцов и строк, и нулевых миноров второго порядка; этот подход можно распространить на случай более высоких рангов».

Так Тэрстоун характеризует сущность проблемы. Необходимо добавить, что, как уже указывалось, ранг матрицы представляет собой попросту число линейно независимых строк или столбцов. В матрице с рангом 1 лишь одна строка линейно независима, так как все другие строки могут быть выражены через нее (см. гл. II, раздел «Ранг матрицы»), Понятно, что в этом случае соответствующие пары столбцов или строк будут пропорциональны. Для объяснения всех корреляций, рассчитанных в. результате эксперимента или наблюдений и содержащихся в такой матрице, достаточно одного фактора или измерения.

Это открытие Тэрстоуна, сделанное в 1931 г., явилось переломным моментом в развитии многофакторного анализа. Оказалось, что ранг матрицы соответствует числу факторов, необходимых для объяснения данной совокупности корреляций. Спирмэн, сделавший далеко идущие выводы из своей концепции одного общего фактора, попросту оперировал матрицей, ранг которой был равен 1.

Так возник многофакторный анализ, значительно расширивший возможности применения факторных методов прежде всего в психологии. Используя матрицы более высоких рангов, многофакторный анализ позволил изучать одновременно много влияний и выявлять их взаимосвязи и зависимости.