4. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ ПРОВЕРКИ ПРАВИЛЬНОСТИ РАСЧЕТОВ В ПРОЦЕССЕ ВРАЩЕНИЯ

Процесс вращения связан с тем счастливым обстоятельством, что возможные ошибки, например при измерении угла вращения на графике или в результате неточного вычерчивания самого рисунка, не накапливаются в ходе выполнения всей операции. При каждом передвижении оси мы возвращаемся к неизменной основе, которой является исходная факторная матрица . Новая факторная матрица после поворота получается каждый раз путем умножения этой основной матрицы на новую матрицу трансформации К.

Наиболее неприятны те ошибки, которые могут возникнуть на последней операции, приводящей к окончательной факторной матрице где n — число вращений. В принципе существуют два основных способа проверки правильности вычислений, которые могут использоваться в случае ортогональных систем. Первый из них заключается в расчете суммы квадратов нагрузок каждой переменной, которая всегда должна быть равна элементам в матрице

Это объясняется тем, что при вращении не изменяется ни длина векторов в пространстве общих факторов, ни начало координат. Для примера с шестью переменными все расчеты сведены в табл. 5.8.

Таблица 5.8.

Факторная матрица шести переменных после двух вращений V.,

Если сопоставить табл. 5.8 с табл. 5.1, то окажется, что отклонения между величинами рассчитанными на основе матрицы (табл. 5.1) и на основе матрицы V2 (табл. 5.8), весьма незначительны. Поэтому можно считать, что расчеты были в достаточной степени точными.

Второй способ проверки обусловлен тем фактором, что вращение не изменяет углов между векторами переменных. Поэтому не изменяются исходные корреляции между каждой парой переменных. Как известно, эти корреляции могут быть воспроизведены из факторных нагрузок путем суммирования произведений соответствующих нагрузок. Вспомним уже знакомую нам формулу, которая приводилась последний раз при изложении основ расчета факторных нагрузок. В случае с тремя общими факторами корреляции между переменными определяются по формуле

Поскольку воспроизведение этим путем всей матрицы исходных корреляций может быть весьма трудоемким, достаточно вычислить лишь корреляции, находящиеся над главной диагональю ( и т. д.), и корреляции, находящиеся в правом верхнем углу матрицы так как при этом нагрузки каждой переменной будут использованы дважды. Применяя этот критерий, выполняем следующие операции:

1. Вычисляем произведения нагрузок данной пары переменных по приведенной формуле. Для переменных 1 и 2 получим:

2. Определяем, сколько раз каждая переменная меняла знак. Это легко сделать, подсчитав, сколько раз менялся знак центроидных нагрузок данной переменной в факторной матрице . Например, табл. 5.7 показывает, что переменная 1 ни разу не меняла знак, переменная 2 изменила знак плюс на минус при факторе и затем минус на плюс при факторе

Таким образом, эта переменная меняла знак дважды в процессе расчета трех факторов. Если общее число случаев изменения знаков обоих переменных четное, то к сумме произведений нагрузок этих переменных добавляется соответствующий остаток после выделения последнего фактора (табл. 4.7) с таким знаком, который был у этого остатка в матрице остаточных корреляций. Если число изменений знаков нечетное, то знак остатка изменяется перед его сложением с суммой произведений.

3. Округленный результат должен быть равен исходной корреляции двух переменных. Результаты проверки приводятся в табл. 5.9.

Таблица 5.9. Воспроизведение исходных корреляций на основе факторных нагрузок матрицы

Незначительные отклонения между исходными и рассчитанными корреляциями (наибольшее составляет 0,0029) можно приписать мелким ошибкам при округлении. В заключение необходимо еще раз подчеркнуть, что применение всевозможных критериев правильности расчетов имеет большое значение на всех этапах процедуры факторного анализа. В особенности это касается операций выделения факторов, где существенная ошибка, например в первой матрице остатков корреляций, обнаруженная слишком поздно, перечеркивает полностью огромную работу, затраченную при вычислении следующих факторов. На этом заканчивается рассмотрение основных проблем вращения, которое завершает полный цикл основных вычислительных операций центроидного метода. Этот цикл включает следующие операции:

1) построение корреляционной матрицы и оценку начальных значений общностей;

2) выделение первого центроидного фактора;

3) вычисление остатков после определения первого фактора;

4) изменение знаков элементов матрицы остатков корреляции и определение общностей в этой матрице. Цикл (пп. 2—4) повторяется для следующих центроидных факторов до тех пор, пока не будет исчерпана вся общность, содержащаяся в первой корреляционной матрице;

5) построение исходной факторной матрицы;

6) вращение осей системы координат для получения простой структуры.

Результатом всей процедуры явится факторная матрица после поворота.