б. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ МАТРИЦЫ

С учетом изложенных выше принципов интерпретации коэффициента корреляции с помощью двух наклоненных друг к другу векторов можно перейти к геометрическому представлению корреляционной матрицы.

Схема 3.6

В качестве примера возьмем приведенную корреляционную матрицу (рис. 3.6), включающую коэффициенты корреляции в серии из четырех тестов. Прежде всего необходимо различать элементы главной диагонали и остальные компоненты этой матрицы.

Обратимся вначале к элементам главной диагонали. Каково их значение для геометрической интерпретации корреляционной матрицы? Эти элементы характеризуют длину векторов (в нашем примере векторов тестов). Попытаемся это доказать.

Каждый столбец или строка корреляционной матрицы соответствуют одному тесту и включают корреляции этого теста со всеми другими. Возьмем, к примеру, первый столбец матрицы, относящийся к тесту 1. Первый коэффициент этого столбца лежит на главной диагонали.

В принципе этот коэффициент характеризует корреляцию с теста самим собой, однако в нашем случае он представляет собой только общность теста так как мы имеем дело с приведенной матрицей. Попытаемся представить эту корреляцию в виде скалярного произведения. Это будет произведение, образованное умножением вектора теста на этот же вектор и на угол между ними . Так как косинус угла 0° равен 1, получим:

Отсюда видно, что общность теста 1 является просто квадратом длины вектора Ясно также, что величины должны быть всегда положительными. (Этим объясняется устоявшийся символ ) Подход к другим столбцам корреляционной матрицы аналогичен. Обобщая, можно сказать, что каждый элемент главной диагонали корреляционной матрицы показывает длину соответствующего вектора теста.

Каково значение всех других коэффициентов корреляционной матрицы? В самой общей форме можно утверждать, что если элементы главной диагонали показывают длину векторов, то остальные элементы соответствуют углам между этими векторами. Действительно, каждый коэффициент корреляции в столбце данного теста, показывающий его связь с другим тестом в серии, может быть представлен как скалярное произведение соответствующей пары векторов. Так, например, коэффициент может быть представлен как скалярное произведение вектора теста 1 и вектора теста 3. С учетом вышесказанного, угол между этими векторами будет тупым, если прямым, если и острым, если