4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАГРУЗОК ПЕРВОГО ОБЩЕГО ФАКТОРА

Вернемся к изложению основной процедуры расчета факторных нагрузок на основе матрицы корреляций. Используем для этого конкретный числовой пример. Но прежде сделаем несколько вступительных замечаний. В большинстве работ по факторному анализу в этом случае пользуются условными данными, являющимися в некотором смысле идеальными, т. е. подобранными таким образом, чтобы анализ давал полностью однозначные и заранее определенные результаты. Это делается в целях упрощения и ясности изложения.

Представляется, однако, что такой подход хотя и облегчает понимание основных зависимостей, имеет тот недостаток, что он слабо подготавливает читателя к самостоятельному применению факторного анализа, так как приучает его к «идеальным» результатам, легко получаемым на условных данных.

Поэтому в процессе дальнейшего изложения будут использоваться реальные данные, полученные экспериментальным путем. Это будет множество корреляций, рассчитанных на основе исследований, проводившихся в свое время автором. Они касались совокупности шести тестов, реализованных в группе учеников профессиональной школы. Однако для того, чтобы подчеркнуть общий характер факторного анализа как метода научных исследований, мы будем говорить не о тестах, а просто о «переменных».

Так как количество переменных равно шести, число коэффициентов корреляции с учетом известной формулы составит .

Чтобы на их основе построить корреляционную матрицу, нужно начертить таблицу, имеющую шесть строк и шесть столбцов (см. табл. 4.1). Соответствующие переменные обозначены через

Таблица 4.1

Редуцированная корреляционная матрица для шести переменных

Анализ начинается с поиска первого фактора, общего для всех включенных в матрицу переменных. Для определения его нагрузки по переменной нужно просуммировать все корреляции в столбце и рассчитать их среднюю.

Однако прежде всего необходимо выполнить важную операцию. Для получения редуцированной корреляционной матрицы на главной диагонали нужно записать величины, соответствующие значению общности т. е. области общих изменений.

Этот шаг имеет решающее значение, если учесть, что нашей целью является такое определение элементов главной диагонали, при котором ранг корреляционной матрицы был по возможности минимальным. В этом случае мы получаем возможность объяснить совокупность корреляций при помощи минимального числа общих факторов. Предполагается, что именно величины соответствуют указанным требованиям.

Наибольшая трудность заключается теперь в том, что, приступая к факторному анализу, мы не знаем величин так как их нельзя определить экспериментальным путем. Поэтому эти величины оцениваются до некоторой степени произвольно. Существуют различные способы их оценки, о чем мы будем говорить ниже. Здесь же отметим лишь, что один из этих способов заключается в записи на главной диагонали наибольшего коэффициента корреляции в данном столбце. Эта величина всегда записывается как положительная независимо от знака наибольшего коэффициента в столбце. Построив таким способом редуцированную корреляционную матрицу, можно приступить к расчету нагрузок первого общего фактора. Последовательность действий такова:

1) суммируем элементы каждого столбца, включая с учетом алгебраических знаков; сумма записывается под столбцами в строке , для контроля суммы строк записываются в последнем столбце таблицы;

2) складываются все суммы столбцов; получающаяся величина, обозначенная буквой Т, составит в нашем примере 12,152. Далее вычисляется

3) суммы столбцов делятся на , в результате чего определяются нагрузки первого фактора для шести переменных или их корреляции с этим фактором. Таким образом, нагрузка фактора для переменной а определяется по формуле

где — сумма коэффициентов корреляции в столбце переменной а, Т — сумма всех коэффициентов корреляции в матрице;

4) рассчитанные таким способом величины записываются в последней строке таблицы;

5) определяется дополнительно величина . Она служит критерием правильности расчетов. Действительно, произведение должно быть равно если расчеты были достаточно точными. В нашем случае получаем что совпадает с рассчитанной выше величиной с точностью до четырех десятичных знаков. Другим критерием является сумма всех факторных нагрузок, которая должна быть равна . В нашем примере эта сумма равна 3,485, что совпадает с. точностью до трех десятичных знаков. На этом заканчивается расчет нагрузок первого общего фактора.