Глава пятая. ВРАЩЕНИЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

1. ВСТУПИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Завершив определение факторных нагрузок, запишем полученные величины в специальную факторную матрицу с учетом алгебраических знаков, полученных в процессе их изменения.

Таблица 5.1. Факторная матрица шести переменных

Таблица содержит два столбца с общим заголовком . Это уже известное нам обозначение общности. Во втором из них записаны оценки, использовавшиеся в процессе расчета факторных нагрузок. Вспомним, что в качестве такой оценки брался наибольший коэффициент корреляции в данном столбце. В, первом из двух указанных столбцов приведены значения, рассчитанные как суммы квадратов факторных нагрузок.

Рис. 5.1

Мы уже знаем, что эта сумма квадратов равна квадрату вектора теста. Для двух общих факторов это вытекает просто из теоремы Пифагора, так как вектор является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого представляют собой факторные нагрузки. Этот принцип действителен и при большем количестве факторов или осей в пространстве, в котором размещается система векторов. Таблица 5.1 показывает, что между рассчитанными и принятыми для анализа значениями существуют некоторые различия, показанные в последнем столбце таблицы. Наибольшая разница составляет 0,065. Не будем здесь рассматривать вопрос о том, насколько точными оказались расчетные значения . В принципе, если разница двух указанных величин значительна, то, как мы уже знаем, нужно повторить всю процедуру анализа, принимая за основу вычисленные значения.

Построив факторную матрицу, можно вычертить систему векторов, соответствующих переменным. Так как было выделено три фактора, чертеж будет трехмерным. Это, однако, не доказывает, что трех факторов вполне достаточно для объяснения всех корреляций исходной матрицы. Просто трехмерный случай удобен для изложения процедуры вращения. Легче всего начертить систему вейторов на плоскости: откладываем значения факторных нагрузок на осях координат, получая этим путем проекции векторов, которые одновременно определяют однозначно их положение. Трехмерный случай несколько сложнее. Система векторов будет теперь находиться в пространстве, некоторые из них уже не лежат на плоскости, а устремлены вверх или вниз, как бы прокалывая страницы открытой книги. Пространственную систему можно, правда, изобразить на перспективном рисунке, но такой рисунок часто трудно понять, так как векторы могут совпадать и по крайней мере одна ось изображается в укороченной перспективе, что не позволяет правильно исчислять длины проекций и векторов. Попытка графического представления шести переменных иллюстрируется рис. 5.1.

Как видим, этот рисунок не дает полного представления о пространственном размещении векторов. Пунктирные вспомогательные линии, определяющие три проекции (нагрузки) вектора (на рисунке это сделано для вектора 1), для всех векторов настолько усложнили бы рисунок, что он утратил бы свои иллюстративные свойства.

К счастью, существует способ графического изображения векторов и их факторных нагрузок в одной плоскости даже в трехмерном случае. Это можно сделать, учитывая каждый раз одновременно только две оси. По существу, это тот же способ, с помощью которого на плоских рисунках изображаются всякие тела, трехмерные фигуры, например здания, когда дается их вид спереди, сбоку и сверху.

В верхней части рис. 5.2 даны три пространственных чертежа, на которых заштрихованы плоскости, соответствующие последовательным двумерным представлениям. В нижней части даны три рисунка, на которые как бы распадается трехмерная система векторов. По мере роста числа факторов (осей) число необходимых рисунков будет увеличиваться в соответствии с формулой где — число рисунков, а — число факторов. Рисунки вычерчиваются таким образом, что факторные нагрузки из каждой строки факторной матрицы принимаются в качестве координат соответствующего вектора, причем всегда одновременно берется два столбца. Удобно представлять векторы точками их концов. При этом имеется в виду, что вектор имеет длину от начала координат до этой точки. В дальнейшем будем пользоваться этим способом графического изображения.

Важно помнить, что сумма квадратов факторных нагрузок дает лишь квадрат той компоненты вектора, которая соответствует общности, другими словами, квадрат длины проекций вектора на пространство общих факторов. Строя вектор на основе нагрузок общих факторов, мы опускаем ту его часть, которая соответствует специфичности и дисперсии, обусловленной ошибкой. Если нужно довести длину векторов до 1, это может быть легко сделано добавлением специфичности, свойственной каждой переменной.

Рис. 5.2

Нагрузки специфичных факторов можно определить просто, вычитая из единицы рассчитанное для каждой переменной значение общности и извлекая квадратный корень из полученной величины. Приведем в качестве примера таблицу, содержащую указанные расчеты.

Определение нагрузок специфичных факторов для шести переменных

Важно помнить, что выражение соответствует характерности переменной, обозначаемой . О ней мы говорили при рассмотрении основных элементов дисперсии. Матрица специфичных факторов будет иметь следующий вид:

Таблица 5.2

Она содержит шесть специфичных факторов, обозначенных

Величины в столбцах — нагрузки этих факторов у шести переменных. Ясно, что если возвести их в квадрат и прибавить к соответствующей переменной, то получим 1. Матрица специфичных факторов, объединенная с матрицей общих факторов, дает полную факторную матрицу, которая детально рассматривалась в первых разделах книги. О специфичных факторах мы говорим лишь в целях лучшего понимания значения и смысла общих факторов. В практике факторного анализа используются, как правило, векторы, которые меньше единицы. Это объясняется прежде всего тем, что, как уже неоднократно подчеркивалось, нас интересуют общие факторы, объясняющие корреляции и выражающие собой основное влияние, скрытое за величинами коэффициентов корреляции. На рис. 5.2 векторы отражают лишь общность, точнее говоря, их величины равны положительному корню квадратному из общности.

Совокупность факторных] нагрузок шести переменных (или набор их проекций на перпендикулярные оси координат), полученная в результате выделения трех последовательных факторов центроидным методом, не является, как мы знаем, единственно возможной.

Почему это так? Вспомним, что здесь мы имеем дело с двумя основными элементами, из которых один является постоянным, а второй — переменным. Постоянный неизменный элемент — это система или конфигурация векторов, соответствующая переменным. Углы между векторами определены матрицей корреляции, с которой начинается процедура расчета факторов. Если обратиться к графической иллюстрации, то можно утверждать, что единственным постоянным элементом будет система стрел, направленных в разные стороны и выходящих из одной точки, как будто кто-то в кусочек пробки воткнул с разных сторон гвоздики различной длины. Изменяющимся элементом будет система координат, накладываемая на конфигурацию факторов. Этот элемент неопределенный в том смысле, что его можно вращать вокруг точки, представляющей собой начало координат, придавая ему теоретически бесконечное число возможных положений. Каждое из этих положений дает, очевидно, другую совокупность проекций векторов на оси координат, т. е. другое множество факторных нагрузок.

По окончании процесса выделения факторов мы получаем какую-то определенную совокупность нагрузок, соответствующую определенному положению систем координат. Это положение зависит от метода, использованного для расчета факторов. Таких методов, помимо центроидного, подробно изложенного выше, существует несколько. Так как основная конфигурация векторов представляет собой неизменный элемент, то ее проекции на различно расположенные оси могут взаимно преобразовываться, являясь в этом смысле эквивалентными, с той лишь оговоркой, что при этом не изменяется начало координат, а только вращается система осей вокруг этой точки, представляющей собой в то же самое время начальную точку конфигурации векторов.

Вращая таким образом систему координат, можно изменить набор факторных нагрузок. Эта операция в процедуре факторного анализа носит название вращения, или оборота, и соответственно первый набор «сырых» факторных нагрузок, полученных по окончании процесса выделения факторов каким-либо методом, называется исходным. Аналогично можно говорить об исходной факторной матрице и о факторной матрице после поворота, а также о повернутых факторах.

Попытаемся проиллюстрировать сказанное с помощью упрощенного примера с одной переменной (рис. 5.3). Переменная Z, имеет одинаковые факторные нагрузки равные (рис. 5.3, а). Если повернуть систему координат в направлении, обратном движению часовой стрелки, так что ось фактора пройдет через точку т. е. совпадет с вектором переменной (рис. 5.3, б), то проекция на ось т. е. нагрузка фактора уменьшится до нуля, а проекция на ось т. е. нагрузка фактора увеличится и в нашем упрощенном примере станет равной длине вектора переменной

Если изобразить этот случай на графике, новым осям координат которого придано нормальное положение, параллельное линии пересечения плоскостей, то получим рис. 5.3, в.

Рис. 5.3

На этом рисунке точка лежит на оси . Какова сейчас величина нагрузки ? В нашем примере она легко определяется с помощью прямоугольного треугольника на рис. 5.3, б. Нагрузка фактора будет равна гипотенузе которая равна в то же время длине вектора переменной Следовательно,

Формула, позволяющая вычислить новые проекции вектора после вращения осей системы координат, включает угол вращения. Если две нагрузки переменной обозначить а угол вращения — а, то при вращении против часовой стрелки получим, что

а при вращении по часовой стрелке формула расчета новых факторных нагрузок будет иметь вид:

Если с помощью транспортира измерить угол вращения на рис. , то окажется, что он составляет 45°. Вращение осуществлялось против часовой стрелки. Косинус угла 45° равен синусу этого угла и составляет примерно 0,71. Таким образом,

Этот результат совпадает с тем, который был получен выше. Осуществляя вращение, мы изменяем проекции векторов (факторные нагрузки).

Одни из них растут, другие уменьшаются. Необходимо, однако, помнить что в процессе вращения неизменными остаются два элемента: суммы квадратов соответствующих пар проекций, или общности и исходные корреляции между переменными. Первое вытекает просто из теоремы Пифагора, так как при вращении не изменяется длина вектора и гипотенуза треугольника, катеты которого представляют собой две проекции на две оси системы координат. Второе становится понятным с учетом сказанного о неизменности основной конфигурации векторов. Возникает вопрос: для чего осуществляется вращение системы координат и изменение факторных нагрузок? Почему нельзя остановиться на первом наборе нагрузок, полученных по окончании процесса выделения факторов? С математической точки зрения все возможные совокупности проекций, полученные в процессе вращения, эквивалентны, так как каждую из них можно преобразовать в другую, причем общности остаются постоянными для каждого положения системы координат. Дело обстоит иначе при содержательной интерпретации факторных нагрузок (например, с психологической или социологической точки зрения). Как известно, разные методы расчета факторов дают разные положения системы координат и разные наборы факторных нагрузок. Эти наборы определяются исключительно свойствами техники данного метода и являются в этом смысле случайными. Эта проблема была предметом оживленных дискуссий в процессе развития факторного анализа. Однако результаты многих работ и их сравнение свидетельствуют о том, что в большинстве случаев существует какое-то одно определенное положение системы координат, дающее набор факторных нагрузок, имеющий особое значение. Психолог, социолог или экономист, применяющие метод факторного анализа, не могут довольствоваться результатами, наилучшими лишь с чисто математической точки зрения. Они должны стремиться к получению таких результатов, которые наилучшим образом соответствуют некоторой интерпретации факторных нагрузок, существенно связанной с проблематикой изучаемого явления. С этой точки зрения нельзя, как правило, остановиться на первом «сыром» наборе факторных нагрузок, а нужно использовать процесс вращения для нахождения такого положения системы координат, которое дает наиболее эффективные результаты. Нужно искать факторы, соответствующие каким-то существенным элементам, о которых уже есть некоторая информация и о которых с наибольшей вероятностью можно утверждать, что они отражают определенные реальные существующие в природе зависимости. Исследователи, применяющие метод факторного анализа, считают, что существует одно положение осей координат, которое соответствует истинным факторам, а все другие возможные положения являются его математическими преобразованиями. То, что наряду с истинным положением системы координат существуют одновременно всевозможные ее случайные эквиваленты, есть просто неизбежный результат методов расчета факторных нагрузок. Этим и объясняется второй этап работы — вращение, в процессе которого нужно найти истинное положение системы координат, соответствующее реальным факторам.