ПРИЛОЖЕНИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Жан-Пьер Балладур

ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ СООТВЕТСТВИЙ

ВВЕДЕНИЕ

Существует много методов анализа исходных данных. Такие методы, как простая линейная регрессионная модель или анализ дисперсий и ковариаций, позволяют исследовать количественные переменные. Труды профессора Бензекри ввели во Франции факторный анализ соответствий, который посвящен специально изучению качественных признаков множества исходных данных и который может найти широкое применение как в биологии, так и в общественных науках. Цель настоящей работы состоит в изложении основ этого метода. Анализ соответствий предназначен для изучения качественных признаков и применяется к таблице смежности двух или более признаков. Рассмотрим, например, таблицу смежности, построенную по выборке объема N из самодеятельного французского населения и фиксирующую такие два признака:

1) социально-профессиональную категорию (десять значений, );

2) департамент, в котором данное лицо постоянно проживает (девяносто пять значений,

Эта таблица, состоящая из десяти строк и девяноста пяти столбцов, задает очевидным образом число лиц из выборки, относящихся к категории i и проживающих в департаменте

Относительно какой меры анализ таблицы смежности может сформулировать утверждение о том, что два или более департамента «близки» или «далеки» по социально-профессиональному распределению своего самодеятельного населения, т. е. относительно какой меры можно рассматривать социально-профессиональные структуры двух или более департаментов как сходные или, напротив, весьма несходные? Возникает также симметричная проблема: каким образом на основе географического распределения социально-профессиональных категорий можно сближать те из них, которые мало отличаются по своему географическому профилю? В случае, когда определен способ измерения для проблем такого рода, как рассматривать в целом соотнесение близостей в поведении различных значений одного признака (департамента постоянного местожительства) относительно другого признака (социально-профессиональной категории)?

Анализ соответствий предлагает решение таких проблем. Для этого он вводит способ измерения (расстояние) и способ визуального рассмотрения (проекцию на пространства малых размерностей — чаще всего одномерные или двумерные).

1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Важно уже сейчас отметить, что анализ соответствий основывается на статистических распределениях значений нескольких признаков в заданной генеральной совокупности. Так, например, в случае анализа типов покупателей автомобилей с точки зрения их социально-профессиональной категории нет никаких оснований полагать, что результаты анализа будут идентичны для немецких и для французских покупателей.

2. ОБОЗНАЧЕНИЯ

2.1. Пусть имеется генеральная совокупность на которой определены два признака принимающие соответственно значений, где М и N — натуральные числа (случай непрерывно изменяющегося признака можно свести к предыдущему, распределив значения, которые он может принимать, по конечному числу классов). Значение признака 1 (соответственно J) указывается индексом i (соответственно ), меняющимся от 1 до М (соответственно N). Вероятность того, что объект из одновременно принимает значение i по признаку I и значение по признаку J, будет обозначаться через . В случае, когда таблица смежности строится по выборке объема Т из генеральной совокупности Q, под вероятностью подразумевают частоту, с которой пара наблюдается в выборке, т. е.:

где

2.2. Вероятность того, что объект принимает значение i, по признаку будет обозначаться через Р; (соответствующая вероятность для значения признака J — через ):

откуда следует, что

2.3. Условные вероятности будут обозначаться через

и