г. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФАКТОРНОЙ МАТРИЦЫ

Попытаемся так же, как в случае с корреляционной матрицей, дать геометрическую интерпретацию факторной матрицы, которая, как известно, является конечным пунктом процедуры выделения факторов.

В качестве примера возьмем редуцированную факторную матрицу F с двумя столбцами и четырьмя переменными (схема 3.7).

Схема 3.7. Факторная матрица с двумя общими факторами

Мы уже знаем, что все элементы этой матрицы являются факторными нагрузками или корреляциями переменных и факторов. Например, коэффициент 0,70 в первом столбце и первой строке матрицы F представляет собой нагрузку фактора 1 у переменной 1. Для графической иллюстрации факторных нагрузок нужно обе скоррелированные друг с другом переменные изобразить в виде векторов. В результате мы будем иметь, с одной стороны, векторы, соответствующие переменным (тестам), а с другой — векторы, соответствующие факторам. Обратимся вначале к векторам факторов.

Как правило, фактор представляется в виде единичного вектора. В нашем примере факторная матрица содержит два столбца, или два ортогональных фактора. Следовательно, нужно изобразить два перпендикулярных единичных вектора, соответствующих двум не связанным друг с другом факторам. Такие векторы факторов (их не нужно путать с векторами, соответствующими переменным) играют особую роль. Они образуют систему отсчета, применительно к которой определяется положение векторов, соответствующих переменным (например, векторов тестов). Поэтому эти векторы называются «векторами отсчета», осями отсчета или просто осями координат.

Перейдем теперь к векторам, соответствующим переменным (например, тестам). Для геометрического изображения всех факторных нагрузок в факторной матрице нужно определить положение каждого вектора тестов относительно векторов факторов. С этой целью элементы каждой строки матрицы рассматриваются как координаты точки, являющейся концом соответствующего вектора теста.

Обратимся к рис. 3.7. На нем показаны две оси координат, изображенные в виде единичных векторов, представляющих факторы I и II.

Возьмем, к примеру, первую переменную в факторной матрице. Ее факторные нагрузки составляют 0,70 для фактора I и 0,30 для фактора II. Поэтому точка с координатами 0,70 на оси l и 0,30 на оси II будет являться концом вектора 1. Если эту точку соединить с началом координат, получим вектор 1, соответствующий переменной 1. Аналогично можно определить все остальные векторы. Что означает такая система?

Обратимся снова к вектору 1. Отметим прежде всего, что обе факторные нагрузки представляют собой проекции вектора теста на оси координат (или единичные векторы факторов). В нашем примере они составляют 0,70 и 0,30. Длину вектора 1 можно определить с помощью теоремы Пифагора, так как этот вектор является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого являются отрезками, представляющими факторные нагрузки. Если длину вектора 1 обозначить через то

откуда

Первое из двух уравнений дает нам уже известную общность (в нашем случае теста 1, или ).

Отсюда ясно видно, почему эта общность равна сумме квадратов факторных нагрузок. Понятно также, что вектор переменной (теста) 1 соответствует здесь лишь общей дисперсии, которая на состоит из дисперсии, обусловленной фактором I, и на — из дисперсии, обусловленной фактором II.

Рис. 3.7 позволяет получить и другие интересные результаты. На нем показаны еще три вектора, соответствующих переменным, положение и длина которых определяются аналогично. Вектор 2 полностью совпадает с осью фактора I, составляя от нее 0,90 (проекция равна длине вектора), а проекция на ось фактора II равна нулю, так как этот вектор перпендикулярен оси 11. Дисперсия переменной 2 состоит исключительно из дисперсии, обусловленной фактором I. Другими словами, нагрузка фактора II равна нулю.

Рис. 3.7. Факторная структура

Число векторов, представляющих переменные, соответствует количеству строк факторной матрицы F. Число осей координат, представляющих переменные, соответствует количеству столбцов матрицы F. Каждая факторная нагрузка (фактора при переменной у) являющаяся элементом факторной матрицы, представлена как проекция вектора переменной j на ось ординат т. Система векторов, представляющих переменные и полученных на основе факторной матрицы, есть не что иное, как конфигурация векторов, о которой уже говорилось выше.

Вернемся к рис. 3.7. Будем трактовать его следующим образом: на конфигурацию векторов, определяемую корреляционной матрицей, наложена система координат, состоящая в этом случае из двух перпендикулярных единичных векторов, соответствующих двум независимым факторам. Другими словами, графическое изображение факторной матрицы представляет собой объединение двух основных элементов: конфигурации векторов и системы координат, образуемой единичными векторами факторов. Такое объединение Тэрстоун назвал факторной структурой. В соответствии с его концепцией это понятие можно определить следующим образом: факторная структура — это объединение конфигурации векторов, соответствующих переменным данной серии, и векторов, образующих соответствующую систему координат.