3. ПРОЦЕДУРА ВРАЩЕНИЯ В ТРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ

Когда удается определить наилучшее положение системы координат относительно конфигурации векторов, мы получаем, как принято говорить, какое-то факторное решение, или, пользуясь терминологией Тэрстоуна, «структуру». В принципе безразлично, перемещается ли система векторов или система координат. С учетом того, что конфигурация векторов постоянно закреплена в исходной совокупности корреляций, а система координат является как бы следующим за ней элементом анализа, в практике принято вращать прежде всего оси координат. Необходимо также напомнить, что вращение системы координат можно осуществлять лишь относительно определенной точки, которая является началом координат. Нельзя передвигать начало координат относительно конфигурации векторов, так как это изменило бы значения исходных корреляций. Приступая к вращению, мы ставим перед собой две главные задачи: а) определить наилучшее положение осей координат, которое дает наиболее явную простую структуру, и б) точно рассчитать новые проекции или факторные нагрузки векторов на новые оси координат.

Решение этих задач можно осуществлять двумя методами: а) используя геометрическую интерпретацию проблемы (рисунки, графики, модели) и б) выполняя соответствующие вычисления, приводящие к определению нового положения системы и новых проекций.

Используя лишь графики, нельзя достичь высокой точности результатов, не говоря уже о том, что в многомерных случаях их применение требует кропотливой работы. Однако применительно к задаче определения наилучшего положения осей графическая интерпретация играет главную роль. Только с ее помощью можно наглядно представить, как перемещаются отдельные группы точек относительно вращаемых осей, что облегчает поиск простой структуры. Вторую основную задачу вращения — точное определение новых проекций на передвинутые оси системы координат — можно, особенно в многомерных системах, осуществить быстрее и легче при помощи алгебраических и тригонометрических вычислений. Начнем с. графика для совокупности шести переменных и их системы координат в таком положении, в котором она находилась по окончании процесса выделения факторов. Поступим так, как это описано на стр. 92, используя разложение трехмерной системы на три двумерных элемента. Рисуя эти графики, мы исходим из первой факторной матрицы, обозначаемой (табл. 5.3).

Таблица 5.3. Исходная факторная матрица шести переменных

Графики лучше всего чертить на миллиметровой бумаге, отмечая на соответствующих осях значения проекций, содержащихся в матрице .

В нашем примере графики изображены на рис. 5.6.

На этих исходных графиках еще не видно следов ярко выраженной структуры. Местонахождение шести точек носит совершенно случайный характер. Однако более глубокое изучение рисунков показывает, что поворот осей координат (рис. 5.6, а) на 45° против часовой стрелки до положения дает отчетливые нагрузки фактора при переменных 2, 3, 4 и 5 и близкие к нулю нагрузки этого фактора при переменных 1 и 6.

После осуществления первого этапа вращения возникает проблема определения новых проекций шести переменных на оси . В случае вращения трехмерных и -мерных систем используется более сложный метод по сравнению с описанным на стр. 92. Не вдаваясь глубоко в математические основы этого метода, приведем лишь несколько общих соображений, которые могут облегчить понимание его главных этапов. Так как оси координат перемещаются на некоторый угол относительно их исходного положения, нужно прежде всего установить, каким образом можно вообще количественно определить направление любой оси в пространстве.

Если рассматривать вращаемую ось как вектор, то из аналитической геометрии известно, что его положение в трехмерном пространстве может быть определено тремя углами, заключенными между этим вектором и тремя взаимно перпендикулярными осями какой-либо системы координат. Как известно, углы могут быть представлены их косинусами. Эти косинусы, определяющие положение вектора относительно системы координат, называются в аналитической геометрии направляющими косинусами. Для однозначного определения положения вектора на плоскости в двумерном случае достаточно двух направляющих косинусов, в трехмерном нужны три, а в -мерном пространстве . На их основе можно построить уже известную нам систему, которая называется матрицей направляющих косинусов.

При вращении нас интересует перемещение осей координат, относительно их исходного положения. Поэтому новое положение переместившейся оси можно определить при помощи направляющих косинусов, рассчитанных с учетом исходного положения осей координат, которое трактуется как система отсчета. Если исходные перпендикулярные оси (факторы) обозначить через а их новые положения после вращения — через то эти новые положения относительно исходных можно определить при помощи матрицы направляющих косинусов, которые в общем виде можно представить с помощью табл. 5.4, где направляющие косинусы обозначены через X.

Элементы такой матрицы представляют собой направляющие косинусы углов, заключенных между новым положением осей и системой отсчета, образующей исходные оси. Дополнительное пояснение дает рис. 5.7, на котором в целях упрощения перемещается лишь одна из трех осей.

Рис. 5.6. Исходная система шести векторов на основе первоначальной факторной матрицы

Таблица 5.4. Матрица направляющих косинусов

Косинус тупого угла а между соответствует элементу матрицы. Соответственно косинус угла соответствует элементу а косинус угла у — элементу Теперь видно, что три направляющих косинуса, являющиеся элементами столбца матрицы, полностью определяют новое положение оси относительно исходной системы координат.

Важно еще отметить и то, что сумма квадратов косинусов каждого столбца матрицы равна 1 при предположении, что длина вращаемой оси равна 1. Для двумерных систем это очевидно из теоремы Пифагора, однако отмеченное свойство присуще также трехмерному и -мерному пространству. Как правило, предполагается, что каждая ось системы координат представляет полную дисперсию данного фактора, равную 1, а потому имеет длину, также равную 1.

В общем виде новые направления осей системы координат могут быть определены матрицей направляющих косинусов, содержащей столько столбцов, сколько осей в системе. Каждый из этих столбцов включает значения косинусов, определяющих углы новых осей относительно перпендикулярных осей исходной системы координат. Новые оси размещаются, как правило, в пространстве такой размерности, какая была характерна для старых осей, поэтому матрица направляющих косинусов будет квадратной и содержит число строк, соответствующее размерности пространства. Столбцы и строки такой матрицы будут нормализованными, т. е. сумма квадратов содержащихся в них направляющих косинусов будет равна 1. Такая матрица (табл. 5.4), содержащая направляющие косинусы новых осей относительно исходных, называется матрицей трансформации, или -матрицей. Действительно, она преобразовывает исходные оси в новые повернутые и одновременно является основой расчета проекций векторов, представляющих переменные, на новые, повернутые оси.

Рис. 5.7

Процедура расчета новых проекций в общем относительно проста и заключается в умножении матрицы исходных факторных нагрузок на матрицу трансформации .

Необходимо при этом помнить, что нельзя умножать матрицу на матрицу , так как в матричной алгебре произведение не равно произведению . В результате умножения получим первую матрицу повернутых факторов . Рассмотрим последовательно все необходимые операции.

Непосредственно за графиками и определением угла первого вращения следует расчет матрицы . Как это делается? Начиная вращение, нужно прежде всего составить матрицу трансформации для исходного положения системы координат. Строго говоря, первая матрица не является еще трансформирующей, так как воссоздает исходное положение факторов. Это особая форма матрицы . Она строится с учетом следующих соображений: направляющий косинус для относительно равен 1, так как ось сама с собой образует угол 0°. Направляющий косинус для относительно составит 0, так как угол между ними равен 90°. Аналогично направляющий косинус относительно будет равен 0. Точно так же построим остальные столбцы. В результате получим матрицу , изображенную на рис. 5.5. Это матрица системы перпендикулярных осей относительно нее самой. Если умножить матрицу на такую матрицу , получим ту же матрицу так как вращение ее было осуществлено. Ознакомившись со способом умножения матриц, который излагается ниже, читатель может легко проверить данное утверждение.

Таблица 5.5. Первая матрица трансформации

Теперь приступим к вычислению матрицы Я для первого вращения, которое, как мы помним, заключалось в повороте осей координат (рис. 5.6, а) на 45° против часовой стрелки. Расчет новых направляющих косинусов осуществляется по формуле

где — столбец направляющих косинусов для Аналогично поступают в отношении других осей. Тангенс, на который умножается величина имеет отрицательный знак, так как мы движемся в направлении от оси Далее выполняем следующие операции:

1. Переписываем по горизонтали столбец косинусов для в матрице рядом с аналогичным столбцом для

2. Столбец умножаем на что составляет —1, и результат прибавляем к

3. Нормализуем полученные направляющие косинусы с учетом того, что длины осей равны 1 и поэтому квадраты направляющих косинусов должны в сумме давать единицу. Нормализация совокупности чисел заключается в возведении каждого числа в квадрат, расчете суммы этих квадратов и делении каждого числа на корень квадратный из этой суммы. В случае трех чисел а, b, и с нормализованные величины составят:

Нормализованные направляющие косинусы для С, составят:

4. Аналогично вычисляем направляющие косинусы для оси с тем, однако, что теперь прибавляем , так как ось движется к оси . Теперь формула будет иметь вид:

Сделав подстановку, получим:

5. Нормализуя вычисленные косинусы, получим:

6. Составляем из рассчитанных столбцов новую матрицу трансформации . Ее столбец остается пока тем же, что и в матрице , так как положение оси не менялось.

7. Умножая матрицу исходных факторов на матрицу , получим первую матрицу повернутых факторов

Таблица 5.6

Умножение осуществляется следующим образом: каждый элемент данной строки матрицы умножается на соответствующий элемент столбца данного фактора матрицы Сумма этих произведений дает соответствующий элемент столбца этого фактора в новой матрице Например: первый столбец матрицы получается последовательным умножением строк V0 на первый столбец матрицы

Второй столбец матрицы получается последовательным умножением строк на второй столбец

Третий столбец матрицы получается последовательным умножением строк на третий столбец

В итоге получаем первую матрицу повернутых факторов т. е. проекций векторов на оси и повернутых на 45° против часовой стрелки. Как видим, нагрузки в столбце матрицы остались теми же, что и в матрице , так как ось не изменила своего положения. Теперь нужно снова начертить три рисунка, изображающие положение векторов после первого вращения. Эти рисунки (5.8) чертятся так же, как и раньше, но теперь уже с учетом новой матрицы нагрузок

Изучение рисунков показывает, что целесообразнее всего вращать оси на 45° против часовой стрелки (рис. 5.8, б).

Рис. 5.8. Система шести векторов после первого вращения

После этого можно приступить к расчету и построению матрицы для следующего вращения. Это делается так же, как и ранее, но с учетом того, что исходным пунктом вычислений будет на этот раз матрица V.

Новые направляющие косинусы определяются по формулам:

В первой формуле тангенс имеет положительный знак, так как ось сдвигается к . Во второй формуле тангенс берется с отрицательным знаком, так как ось сдвигается в направлении от . Далее выполняются следующие операции:

1. Направляющие косинусы берутся из матрицы

Так как тангенс значение составит:

В соответствии с вышеприведенной формулой определяем сумму

2. Нормализуя рассчитанные направляющие косинусы, получаем

3. Вычисляем направляющие косинусы для второй вращаемой оси

4. Нормализуем полученные направляющие косинусы для

5. Строим матрицу Столбец будет в ней тот же, что и в матрице так как ось не вращалась.

6. Умножаем снова матрицу исходных факторов на матрицу . В результате получаем вторую матрицу повернутых факторов

Таблица 5.7

Умножение осуществляется по вышеприведенной схеме.

Первый столбец матрицы :

Второй столбец матрицы :

Третий столбец матрицы

Итак, получен новый набор проекций шести векторов на новую систему координат, возникшую в результате двукратного вращения осей и осей на 45° против часовой стрелки. Теперь нужно прежде всего проверить, получили ли мы систему факторных нагрузок, которая была выше охарактеризована как «простая структура», и если получили, то какова степень ее соответствия системе координат. Для этого еще раз обратимся к чертежам, изображающим размещение точек после двух вращений (рис. 5.9). При этом мы будем исходить из матрицы .

Даже беглого взгляда достаточно, чтобы увидеть большие изменения. При таком небольшом количестве переменных нельзя, видимо, ожидать появления какой-либо четкой картины простой структуры. Однако более тщательное изучение рисунков показывает, что нам удалось выйти на правильный путь к простой структуре. Во-первых, почти все факторные нагрузки имеют положительные значения.

Рис. 5.9. Система факторных нагрузок шести переменных после двух вращений

Лишь переменная 6 нмееет отрицательную нагрузку фактора Скоторая вообще-то не намного отличается от нуля. Наиболее существенно, однако, то, что на каждом из трех рисунков можно найти переменные с факторными нагрузками, близкими к нулю, т. е. переменные, лежащие в соответствующих гиперплоскостях. Например, у переменных 1 и 6 практически равны нулю нагрузки фактора у переменной 3 равна нулю, а у переменной 5 весьма незначительна нагрузка фактора Переменная 5 имеет нулевую, а переменная 4 — незначительную нагрузку фактора Понятно, что точки редко будут находиться точно на нулевой линии проекции, поскольку различные ошибки и отклонения как в исходных корреляциях, так и при округлении результатов расчетов приводят к значительным искажениям. На практике нагрузки, лежащие в границах от принимаются равными нулю. Если в нашем случае передвинуть эти границы до каждому фактору будет соответствовать одна или две переменные, лежащие в гиперплоскости, что доказывает тенденцию к простой структуре.

Несомненно, что возможна дальнейшая корректировка вращений, могущих привести к получению лучшего отражения простой структуры. Так как наша главная цель заключалась прежде всего в изложении самого метода и техники расчетов в процессе вращения, мы не будем рассматривать эту проблему, так как все дальнейшие действия осуществляются уже описанным путем. Необходимо также подчеркнуть, что в нашем примере по тем же соображениям был выбран острый угол вращения 45°, что позволило избежать сложных «показательных» вычислений. Более обоснованный выбор угла вращения мог бы определенно улучшить простую структуру. Предоставляя читателю возможность самому убедиться в этом, проделав необходимые операции, закончим описание процедуры вращения.