Умножение матриц.

Понятие внутреннего произведения двух векторов можно использовать для определения операции умножения двух матриц. Если А является матрицей порядка , а В — матрицей порядка , то между каждой вектор-строкой матрицы А и каждым вектор-столбцом матрицы В может быть образовано скалярное произведение. С помощью первой вектор-строки матрицы А можно образовать s скалярных произведений с каждым из s вектор-столбцов матрицы В, причем

Эти s скалярных произведений образуют вектор-строку , как это показано на следующей схеме:

Таким же образом можно образовать s скалярных произведений, умножая вторую вектор-строку матрицы А на каждый из s вектор-столбцов матрицы В и получить в результате вектор-строку Подобную операцию можно произвести со всеми вектор-строками матрицы А.

Все возможные скалярные произведения вектор-строк и вектор-столбцов дают новую матрицу элемент которой является скалярным произведением вектор-строки матрицы А с вектор-столбцом матрицы В. Матрица С имеет размер

где

Схематично процесс умножения матриц А и В можно изобразить так:

где, как указано выше, для всех и k. Образование этого элемента показано стрелками. Результат в известной степени можно трактовать как точку пересечения обоих векторов а и

Под произведением матрицы А порядка и матрицы В порядка (причем сомножители записаны в последовательности понимают матрицу С = А • В порядка , чьи элементы являются скалярным произведением j-й строки матрицы А и k-го столбца матрицы В. Для умножения матриц необходимо выполнение следующего условия: число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. Только при этом условии могут быть образованы скалярные произведения. В этом случае матрицы называются согласованными для умножения, выполняемого в последовательности АВ. Матрица А может иметь любое количество строк, а матрица В — любое количество столбцов, но они определяют соответственно число строк и число столбцов матрицы С. Умножение некоммутативно, т. е. в общем случае не равно , даже если обе матрицы согласованы для умножения в обоих направлениях. Следовательно, порядок перемножения матриц изменять нельзя.

Поясним процесс умножения матриц на общем и числовом примере:

если

Чтобы подчеркнуть порядок сомножителей при умножении матриц, называют произведением А на В или «В умножено на А справа». Оба выражения означают, что получено произведение . Умножение на единичную матрицу не изменяет исходную матрицу, о чем можно легко догадаться. Причем порядок записи сомножителей не играет роли: . Так как векторы являются частными случаями матриц, то можно правило умножения матриц беспрепятственно перенести на операцию перемножения векторов с матрицами. Например, очевидно:

Произведение вектор-столбца а и вектор-строки b, записанное в последовательности должно давать по указанному правилу вычисления матрицу. Если а и b являются вышеприведенными векторами, то получим

Полученный результат называется также внешним, или диодным, произведением двух векторов., в противоположность внутреннему произведению, которое является скалярной величиной.

На практике при умножении матриц удобно пользоваться схемой, предложенной Фальком (рис. 1.8). Для проверки сумм элементов строк добавляется справа столбец сумм. При указанном на схеме расположении матриц элемент находится на пересечении строки матрицы А с k-м столбцом матрицы В. Эту схему можно легко распространить на вычисление произведения более чем двух матриц.

В качестве примера вычислим произведение матриц , причем

Вычисление выполнено в табл. 1.3, куда перенесена схема рис. 1.8. Например, первый элемент матрицы получается следующим образом: Для проверки вычислений справа

Рис. 1.8. Схема умножения матриц. Для проверки сумм элементов строк справа предусмотрен столбец. Как указано стрелками, элементы матрицы, полученной в результате перемножения, являются скалярными произведениями соответствующих вектор-строк и вектор-столбцов помещен столбец из сумм элементов строк. Так, сумма второй строки матрицы равна 19. Скалярное произведение второй вектор-строки матрицы В и столбца сумм матрицы С также равно 19, а именно . Следовательно, элементы второй строки матрицы вычислены верно. В конце концов получаем