7.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ЭВМ

Основной недостаток всех известных моделей заключается в том, что результаты, полученные по ним, не могут быть обобщены. Кроме того, несовершенен критерий качества полученных результатов и он не использует всю имеющуюся информацию. Описываемое далее моделирование на ЭВМ, или метод статистических испытаний (метод Монте-Карло), отличается от всех исследований на моделях.

Это отличие состоит в следующем:

1) в определенных границах выводы, полученные этим методом, могут быть обобщены, так как моделируется отбор выборок из определенной генеральной совокупности;

2) применяется очень точный и стабильный критерий качества результатов факторного анализа.

7.3.1. Моделирование с одинаковыми факторными нагрузками

ЭВМ вырабатывает матрицу исходных данных. Эти исходные данные следует рассматривать как выборку из генеральной совокупности с заданной структурой переменных. Каждый раз в выборку попадает несколько переменных. Для генеральной совокупности устанавливаются число факторов и корреляция между переменными и факторами. Для выборки известны коэффициенты корреляции между переменными и факторами и действительные значения факторов. По матрице исходных данных проводится факторный анализ и оценки значений факторов сравниваются с действительными значениями факторов. Эта процедура повторяется для нескольких выборок при одних и тех же условиях в генеральной совокупности. Структуру генеральной совокупности можно изменять, и для каждого нового условия отбирается новый ряд выборок. На рис. 7.8 изображена схема этой процедуры для одного цикла вычислений.

Отдельные векторы и матрицы изображены в виде прямоугольников. Пусть шесть переменных коррелируют с первым фактором, а четыре переменные — со вторым фактором. Вначале генерируется вектор-столбец из нормально распределенных случайных чисел со средним равным нулю, и дисперсией, равной единице. Элементы этого вектора представляют собой значения первого фактора у индивидуумов. При генерировании второго такого вектора случайных чисел получаем вектор практически всегда ортогональный к Чтобы установить между ними нужную корреляцию векторы вращают относительно друг друга, т. е. умножают на матрицу преобразования Т справа.

где — требуемый коэффициент корреляции. После преобразования проверяют наличие корреляции между ними. Если вычисленный фактический коэффициент корреляции между обозначаемый через не совпадает точно с , это указывает на то, что векторы перед преобразованием не были строго ортогональны друг другу. Фактические значения коэффициентов корреляции будут случайно колебаться вокруг требуемого. Оба преобразованных вектора следует понимать как две выборки из одной генеральной совокупности, в которой реализована требуемая корреляция между переменными.

Та же самая процедура повторяется с тем же самым вектором но с другими . Таким образом получают шесть переменных , которые коррелируют с фактором Выбранным произвольно коэффициентам корреляции в генеральной совокупности соответствуют фактические значения в выборках . Аналогично, исходя из нового вектора элементы которого являются значениями второго фактора, получают четыре другие переменные коррелирующие со вторым фактором и независимые от первого.

Рис. 7.8. Схема моделирования процедур факторного анализа на ЭВМ

Все эти переменные составляют матрицу исходных данных Y (см. рис. 7.8). Способ образования матрицы гарантирует следующее: 1) матрица исходных данных зависит от двух факторов, значения которых известны; 2) первые переменных коррелируют с первым фактором, а другие переменных — со вторым; 3) требуемые коэффициенты корреляции между переменными и факторами выбираются для генеральной совокупности и им соответствуют фактические значения для каждой выборки; 4) факторы практически ортогональны и не перекрываются.

По матрице исходных данных Y определяется корреляционная матрица R. В качестве оценок общностей используются наибольшие коэффициенты корреляции каждого столбца. С помощью метода главных факторов выделяются два фактора.

После варимакс-вращения находятся оценки значений факторов для отдельных индивидуумов. Теперь мы подошли вплотную к вопросу о том, насколько точно согласуются между собой полученные оценки значений факторов с действительными их значениями. Этот вопрос отражен в соответствующем месте на рис. 7.8. В качестве критерия применяется коэффициент корреляции между действительными значениями фактора и их оценками . Коэффициент корреляции - является количественным критерием, оценивающим весь процесс факторного анализа. Он измеряет качество оценок значений фактора и может быть меньше коэффициента множественной корреляции, вычисленного по результатам регрессионного анализа.

Обычно факторный анализ проводится без каких-либо сведений о структуре исходных данных. В данном случае заранее знают значения факторов и имеют возможность в широких пределах изменять соотношения между переменными и факторами. Результаты факторного анализа затем сравниваются с действительными величинами, которые были положены в основу анализа. Вертикальная пунктирная линия, проходящая через середину рис. 7.8, делит схему на две части, одна из которых (правая) соответствует проведению факторного анализа при практических исследованиях. Левая часть добавляется при моделировании и позволяет произвести оценку точности значений фактора при различных условиях.

Для лучшего понимания моделирования на ЭВМ приведем числовой пример для одного цикла. В этом примере каждый из двух факторов коррелирует с пятью переменными. Требуемые коэффициенты корреляции для генеральной совокупности представлены в левой части табл. 7.5. Устанавливая коэффициент корреляции между каждым фактором и соответствующей переменной ±0,70, добиваются сильной взаимосвязи между ними. Полученное факторное отображение для выборки в 200 индивидуумов также представлено в табл. 7.5. Сравнение показывает, что фактически получившиеся коэффициенты корреляции варьируют вокруг требуемых, установленных в генеральной совокупности. (Например, для первой переменной После преобразования коэффициент корреляции между стал равен ). В модели не устанавливается корреляция между первыми пятью переменными и вторым фактором, эта корреляция может проявиться чисто случайно (в таблице в соответствующих местах проставлены черточки). Среднее значение абсолютных величин коэффициентов корреляции первых пяти переменных с первым фактором, обозначенное через является показателем тесноты связи между переменными и первым фактором. Аналогичный показатель тесноты связи между другими пятью переменными и вторым фактором —

После образования переменных с указанными в табл. 7.5 соотношениями определяется корреляционная матрица. Она приведена в табл. 7.6. Как и следовало ожидать, существует сильная корреляция только внутри групп переменных 1—5 и 6—10, а между переменными этих групп корреляция несущественна.

Таблица 7.5. Числовой пример

Таблица 7.6. Корреляционная матрица для десяти переменных

В качестве показателя тесноты связи между переменными используется среднее значение абсолютных величин коэффициентов корреляции. Для первых пяти переменных он обозначен через , для переменных 6—10 — через

Сравнивая между собой решение, полученное методом главных факторов, и факторное отображение в выборке, можем убедиться, что факторные нагрузки плохо соответствуют друг другу.

Прежде всего, имеется целый ряд высоких нагрузок там, где их не должно существовать по заложенным в модели связям, а именно между переменными 1—5 и вторым фактором. Напротив, результат варимакс-вращения хорошо согласуется с факторным отображением в выборке. В последних двух столбцах табл. 7.5 приведены коэффициенты регрессии, вычисленные с применением метода множественной регрессии к данным факторам и переменным.

Рис. 7.9. Корреляционная диаграмма, отражающая зависимость между действительными значениями фактора и их оценками

Теперь мы подошли к вопросу о корреляции между действительными значениями фактора в выборке и их оценками. На рис. 7.9 изображена корреляционная диаграмма для первого фактора. При этом на нее нанесены только 60 точек из 200. (Для второго фактора получается идентичная корреляционная диаграмма с ) Оценка значений факторов в этом примере довольно точная, Так как коэффициент корреляции определяет тесноту связи между оценками и действительными значениями, он получил название коэффициента достоверности (см. [108; 2]). Если оценивать фактор по одной переменной с помощью уравнения регрессии, то для этого примера коэффициент детерминации равен Оценка значений фактора с помощью факторного анализа значительно точнее. Коэффициент множественной детерминации равен в этом случае . Это указывает на то, что данная методика позволяет найти группировку взаимосвязанных переменных. Любая перестановка переменных в корреляционной матрице приведет к тому же самому результату.

При предварительном исследовании, на котором мы не имеем возможности остановиться подробнее, вначале проверялось, обеспечивает ли программа репрезентативную выборку из генеральной совокупности. Кроме того, выяснилось, что при среднем коэффициенте корреляции между переменными и факторами выше 0,70 точность оценки больше 0,90. Но при среднем коэффициенте корреляции между переменными и факторами, равном 0,20, корреляционная связь между переменными такая слабая, что почти все коэффициенты корреляции меньше их критического значения.

Поэтому исследования проводились для значений в диапазоне от 0,20 до 0,70 при увеличении его каждый раз на 0,1. Объемы выборок при предварительном исследовании были равны: . Последовательность рассмотрения факторов не играет роли. Значения второго фактора могут быть определены точно так же, как и значения первого (при прочих равных условиях). Это позволяет сократить объем расчетов при аналогичных исследованиях.

Рассмотрим зависимость точности оценки от корреляции между переменными и факторами. Каждой точке на рис. 7.10 соответствует среднее значение результатов факторного анализа, проведенного на 50 выборках из одной и той же генеральной совокупности. По оси абсцисс отложены средние значения коэффициентов корреляции между переменными и факторами.

Рис. 7.10. Зависимость точности оценок значений факторов от коэффициентов корреляции между переменными и факторами . Каждой точке на графике соответствует среднее значение результатов факторного анализа, проведенного на 50 выборках из одной и той же генеральной совокупности.

По оси ординат отложены средние значения коэффициентов достоверности оценок значений факторов Объем выборки при каждом анализе был равен 200. Изменяли только величину корреляции между переменными и факторами в генеральной совокупности и число переменных, связанных с фактором. Существует тесная нелинейная связь между коэффициентами достоверности оценок значений и коэффициентами корреляции между переменными и факторами. Если, например, , то когда фактор коррелирует с пятью переменными. Средний коэффициент достоверности всегда больше среднего коэффициента корреляции между переменными и факторами. Итак, факторный анализ увеличивает точность оценок значений факторов.

На точность оценок число переменных, связанных с фактором, не оказывает такого сильного влияния, как теснота связи между переменными и факторами. Прежде всего следует заметить, что при слабой связи между переменными и факторами увеличение числа переменных, приходящихся на фактор, незначительно увеличивает точность оценок. При исследовании число переменных, коррелирующих с фактором, редко превышает семь, а этого явно недостаточно для достижения высокой точности оценок, если связь между переменными и факторами слабая. Высокая точность оценок получается только тогда, когда связь между переменными и факторами достаточно тесная.

По рис. 7.10 можно определить коэффициент достоверности оценок значений фактора по . Если, например, средний коэффициент корреляций между переменными и факторами равен 0,20 и на фактор приходятся три переменные, то следует ожидать Если средний коэффициент корреляции между переменными и факторами может быть увеличен до 0,40, то коэффициент достоверности увеличивается до 0,58. Если к тому же увеличить число переменных, коррелирующих с факторами, до семи, то коэффициент достоверности достигнет значения 0,73.

Рис. 7.11. Зависимость точности оценок значений факторов от коэффициентов корреляции между переменными Каждой точке на графике соответствует среднее значение результатов факторного анализа, проведенного на 50 выборках из одной и той же генеральной совокупности

Рис. 7.12. Зависимость точности оценок значений факторов от коэффициентов корреляции между переменными и фактором при различных объемах выборок. Каждой точке на графике соответствует среднее значение результатов факторного анализа, проведенного на 50 выборках из одной и той же генеральной совокупности

На практике коэффициенты корреляции между переменными и факторами неизвестны. Поэтому использовать график на рис. 7.10 не представляется возможным. На рис. 7.11 по оси абсцисс отложены средние значения коэффициентов корреляции между переменными . График на рис. 7.11 построен по результатам анализа тех же самых 750 выборок, что и график на рис. 7.10. Поразительно то, что уже при небольших средних значениях коэффициентов корреляции между переменными может быть получен значительный коэффициент достоверности. Например, при пяти переменных и значения факторов оцениваются в среднем с точностью 0,70.

На рис. 7.12 приведены результаты моделирования, при котором изменялись объемы выборок и теснота связи между переменными и факторами. Но при этом каждый раз с первым и вторым факторами были связаны пять переменных. И на этот раз с увеличением тесноты связи повышается точность оценки.

Таблица 7.7. Средние значения коэффициентов корреляции и их стандартные отклонения, вычисленные по результатам 50 выборок из 25 различных генеральных совокупностей

(см. скан)

Если т. е. относительно мало, то увеличение объема выборки не вызовет повышения точности, так как точки, соответствующие и лежат вплотную друг к другу. Следовательно, при слабой корреляции точность оценки не повышается с увеличением объема выборки. Тот же самый вывод можно сделать при рассмотрении , т. е. при тесной связи между переменными и факторами уменьшение объема выборки не снижает точности оценивания. В промежуточной зоне, которая чаще всего встречается на практике, возможно некоторое повышение точности за счет увеличения объема выборки. Так, при коэффициент достоверности значительно меньше, чем при .

В табл. 7.7 представлены числовые значения коэффициентов корреляции, по которым строились графики на рис. Было проведено пять серий наблюдений (I—V) с различными объемами выборок и числом переменных, приходящихся на фактор. В заголовке таблицы указаны требуемые коэффициенты корреляции между переменными и факторами, заложенными в генеральную совокупность:

В таблице приведены средние значения и стандартные отклонения коэффициентов корреляции, вычисленных по результатам 50 выборок из соответствующей генеральной совокупности. Как средние значения коэффициентов корреляции так и средние коэффициенты достоверности вычислялись отдельно для каждого фактора. Рассмотрим, например, вторую серию опытов каждый фактор связан с пятью переменными и Для первого фактора для второго фактора

Из таблицы видно, что стандартное отклонение коэффициента достоверности с увеличением тесноты связи между переменными и факторами уменьшается. Итак, тесная связь между переменными и факторами обусловливает не только высокую точность оценок, но и незначительную вариацию вокруг среднего значения коэффициента достоверности. Сопоставляя строки 3 и 9, а также 4 и 10, можно сделать вывод, что уменьшение объема выборок (от 200 до 25) приводит к увеличению стандартного отклонения коэффициента достоверности для всех р.