7.3.4. Сравнение точности оценивания в факторном анализе с оцениванием в регрессионном анализе

Факторный анализ позволяет оценить значения переменной, которая непосредственно не измеряется. Что это принципиально возможно, мы уже показали на примерах.

Рис. 7.15. Сравнение точности оценивания, произведенного с помощью факторного анализа и выполненного методом множественной регрессии, при

Возникает вопрос о точности этой оценки по сравнению с оценкой целевой функции в классическом множественном регрессионном анализе. Уже в 7.2.2 на примере с оценкой числа жителей было показано, что разница в точности оценивания непосредственно измеряемой целевой функции по сравнению с точностью оценивания неизмеряемой переменной в факторном анализе при определенных условиях не очень велика. Более подробно этот вопрос был рассмотрен при моделировании процедур факторного анализа на ЭВМ.

Отправной точкой при моделировании была матрица исходных данных, полученных в результате репрезентативной выборки из генеральной совокупности.

К этой матрице применялась стандартная процедура факторного анализа и производилось вычисление коэффициента достоверности оценок значений факторов. Кроме того, по уравнению множественной регрессии, вычисленному по соответствующим переменным и действительным значениям фактора, находились оценки значений фактора и коэффициент корреляции между действительными значениями фактора и их оценками. Этот коэффициент корреляции идентичен коэффициенту множественной корреляции между целевой функцией (действительными значениями фактора) и переменными, использованными в регрессионном анализе.

Рис. 7.16. Зависимость между точностью оценивания, произведенного с помощью метода множественной регрессии, и точностью оценивания с помощью факторного анализа при по результатам 50 выборок

На рис. 7.15 производится сравнение точности оценивания с помощью факторного анализа и метода множественной регрессии, примененных к одной и той же матрице исходных данных. Коэффициенты достоверности вычислялись по 50 выборкам объемом . В генеральной совокупности каждый из двух факторов коррелировал с пятью отдельными переменными . Темными кружками отмечены коэффициенты достоверности, вычисленные по результатам факторного анализа. Светлыми кружками отмечены коэффициенты достоверности, вычисленные по результатам применения метода множественной регрессии.

По рисунку видно, что в точности оценивания обоими методами не наблюдается большой разницы. Средние коэффициенты достоверности, вычисленные по результатам применения метода множественной регрессии и факторного анализа, соответственно равны 0,710 и 0,693. Согласно этим значениям разность между коэффициентами множественной детерминации равна: , что составляет 2,5% полной единичной дисперсии переменной. Это незначительное расхождение в точности оценок поразительно. Ни в одной из 50 анализируемых выборок разность между обоими коэффициентами достоверности не была признана статистически значимой. Точность оценок обоих методов тесно взаимосвязана, что видно из рис. 7.16. Чем больше точность оценивания при применении метода множественной регрессии, тем больше точность оценивания при применении факторного анализа по тем же самым исходным данным, и обратно.

Во второй серии опытов анализировались выборки из генеральной совокупности, где был установлен коэффициент корреляции между переменными и факторами . Прочие условия проведения экспериментов остались без изменения. Связь между переменными и факторами стала слабее. Результаты анализа представлены на рис. 7.17.

Рис. 7.18. Зависимость между точностью оценивания, произведенного с помощью множественной регрессии, и точностью оценивания с помощью факторного анализа при по результатам 50 выборок

Рис. 7.17. Сравнение точности оценивания, произведенного с помощью факторного анализа и выполненного методом множественной регрессии, при

Здесь опять светлыми кружками обозначены коэффициенты достоверности, вычисленные по результатам применения метода множественной регрессии, а темными кружками отмечены коэффициенты достоверности, вычисленные по результатам факторного анализа. На этот раз различие между точностями оценивания ощутимее, а именно точность оценок, полученных методом множественной регрессии, значительно выше точности оценок, полученных с помощью факторного анализа.

Разность между соответствующими коэффициентами множественной детерминации в среднем равна: что составляет 11,9% полной единичной дисперсии. Из 50 проанализированных выборок в 11 случаях разность между коэффициентами достоверности, вычисленными по результатам применения обоих методов оценивания, была признана статистически значимой.

Очевидно, расхождение в точности оценивания вызвано уменьшением коэффициента корреляции между переменными и фактором, установленного в генеральной совокупности. При коэффициенты корреляции в R изменяются в интервале . В этом случае, несомненно, метод множественной регрессии дает более точные оценки. При небольших коэффициентах корреляции в R связь между точностью обоих методов оценок очень слабая, в чем можно убедиться по рис. 7.18. Установление в генеральной совокупности приводит к увеличению значений коэффициентов корреляции в R, а именно они изменяются в интервале 0,10 0,24. Из рис. 7.16 видно, что точности оценок обоих методов при тесно коррелируют между собой. Следовательно, оба метода по точности оценок не уступают друг другу. Этот вывод может быть распространен только на данные с четкой структурой переменных, что имело место в описанном случае. Путем вращения достигалось однозначное положение осей координат, которое выявляло простую структуру, заложенную заранее в исходные данные.