7.1. ДВА ПРИМЕРА ИЗ ЛИТЕРАТУРЫ

7.1.1. Задача о ящиках (бокс-проблема Тэрстоуна)

Самым известным примером использования модели в факторном анализе является задача Тэрстоуна о ящиках [286; 6) (box-problem). Она описана в его книге и в опубликованной ранее статье. Эта задача уже упоминалась при обсуждении проблемы вращения при поиске простой структуры в гл. 5.3. На рис. 7.1 представлена схема проверки результатов факторного анализа на модели. Тэрстоун исходил из гипотетической совокупности 20 прямоугольных параллелепипедов (ящиков), задаваясь размерами их ребер.

Рис. 7.1. Схема проверки результатов факторного анализа на модели (задача Тэрстоуна о ящиках). Заданные величины взяты в двойную рамку. Сравниваются между собой два факторных отображения, полученных двумя способами Прямоугольные параллелепипеды являются объектами эксперимента, длина их ребер — заданными значениями факторов. Кроме того, он задавался определенными соотношениями между длиной ребер и рядом переменных. Эти заданные соотношения определяют ожидаемое факторное отображение. На рис. 7.1 заданные величины обведены двойной рамкой.

Произвольно заданные величины однозначно устанавливают факторное отображение. По ним же можно построить матрицу исходных данных для проведения факторного анализа. Выполняя все необходимые процедуры, начиная с определения корреляционной матрицы, выделения факторов и вращения, приходят к финальному факторному отображению. Спрашивается, как этот результат согласуется с заранее известным факторным отображением. На схеме рис. 7.1 в том месте, где производится сравнение вычисленного факторного отображения с ожидаемым, стоит знак вопроса. Исходя из данных величин двумя различными путями приходят к двум результатам, которые должны соответствовать друг другу. Степень адекватности двух факторных отображений отражает пригодность данного метода анализа. Итак, на простой модели мы имеем возможность проверить, как точно при заданных соотношениях факторный анализ в состоянии выделить и определить те самые величины, по которым установлена матрица исходных данных.

Мы не имеем здесь возможности подробно излагать всю задачу. В табл. 7.1 представлены самые важные исходные данные и результаты решения. Факторы, которые соответствуют длине ребер прямоугольных параллелепипедов, обозначены через . Заданные соотношения между этими факторами и 20 переменными указаны в левой части табл. 7.1. Например, переменной 1 является квадрат длины первого ребра, переменной 2 — квадрат длины второго ребра, переменной 3 — квадрат длины третьего ребра. Переменные 4, 5 и 6 являются площадями квадратов на сторонах параллелепипеда. Переменная 16 соответствует объему, а 17 — диагонали параллелепипеда. 20 переменных функционально связаны с величинами х, у, z большинство из них геометрически интерпретируемо. Ожидаемое факторное отображение определяется этими функциональными зависимостями. Если фактор связан только с одной переменной, следует ожидать значительной нагрузки переменной на этот фактор. Если переменная является функцией от нескольких факторов, то лишь те факторные нагрузки отличны от нуля, которые связаны с этими факторами. Ожидаемое факторное отображение, приведенное в табл. 7.1, указывает, что все переменные определяются тремя величинами. Для простоты значительные факторные нагрузки отмечены крестиками, остальные нагрузки опущены.

Таблица 7.1. Задача Тэрстоуна

По факторному отображению можно судить, как взаимосвязаны эти три величины с переменными.

В правой части табл. 7.1 приведены два факторных решения, полученных по корреляционной матрице. Значения вычисленных нагрузок так же, как у Тэрстоуна, указаны до второго десятичного знака. Нагрузки опущены. По таблице видно, что факторная матрица после поворота хорошо согласуется с ожидаемым факторным отображением. Там, где в ожидаемом факторном отображении стоят крестики, соответствующие коэффициенты в факторном решении, полученном после вращения, значительны по величине. Степень совпадения результата процедуры вращения, осуществленного вслепую при поиске структуры, с действительной структурой, заложенной в модели, поразительна. Здесь следует указать на то, что повторный анализ тех же самых исходных данных приводит к тому же факторному решению. На это уже указывалось в гл. 5.3 при обсуждении задачи Тэрстоуна. Приведенное там факторное отображение (см. табл. 5.8) полностью совпадает с результатами, полученными Тэрстоуном. Изменен только порядок факторов.

Центроидное решение не согласуется с заданной структурой, хотя число выделенных факторов совпадает с заданным (среднее значение остаточных коэффициентов корреляции после выделения трех факторов у Тэрстоуна равно 0,008). Набор факторных нагрузок, полученных центроидным методом, не отражает тех величин, которые стоят за переменными. Центроидные факторы не удовлетворяют критерию Баргмана, и их нельзя проинтерпретировать.

Тэрстоун с помощью факторного анализа произвольно установленных им исходных данных вслепую пришел к структуре, скрытой за этими данными. Правда, совпадение с заданной структурой было достигнуто за счет процедуры вращения выделенных факторов. В этой модели не учитываются погрешности измерения и ошибка выборки. При практических исследованиях оба вида погрешностей присутствуют и мешают выявлению четкой структуры. Кроме того, модель сконструирована так, что каждый фактор получает значительные нагрузки От большинства переменных, а остальные переменные совсем не нагружают его. Таким образом, в основу модели положена однозначная простая структура. Действительные данные с такой четкой структурой встречаются редко.