5.1. ПОЛУЧЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОГО И КОСОУГОЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПРИ ВРАЩЕНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ ОБЩИХ ФАКТОРОВ

Самым простым случаем является вращение двух ортогональных факторов на плоскости. В табл. 5.1 приведены два фактора, полученные в результате применения центроидного метода к анализу шести переменных. Рис. 5.1 иллюстрирует процедуру вращения. Обе оси координат занимают определенное положение относительно переменных. В соответствии с принятыми ранее обозначениями точки на графике соответствуют концам векторов, представляющих переменные. Систему координат можно повернуть, например, против часовой стрелки от положения до . Такое вращение, когда прямой угол между координатными осями остается неизменным, как в этом случае, называется ортогональным.

Таблица 5.1. Исходная факторная матрица шести переменных

На рис. 5.1 показан поворот исходной системы координат на угол Используя рисунок, можно выразить новые координаты точки через старые координаты следующим образом:

В справедливости равенств (5.2) легко убедиться. Действительно,

Рис. 5.1. Ортогональное вращение против направления движения часовой стрелки

Из рисунка видно, что . Подставляя эти выражения в , получим

С другой стороны, можно представить как сумму отрезков:

Имеют место следующие соотношения: и или

В результате получаем, что

Итак, мы получили равенство (5.2). Набору из точек будет соответствовать пар уравнений (5.2). Это преобразование координат точек можно записать в матричной форме, как это сделано в (5.3) и в (5.4).

Если координаты точки в исходной системе известны и установлен угол вращения, то легко вычислить координаты точки при новом положении осей. Положение новых координатных осей относительно старых однозначно определяется косинусами углов между ними. Эти косинусы в аналитической геометрии называются направляющими. Если исходное факторное отображение включает только два фактора, то после осуществления ортогонального вращения считывают значение угла поворота осей 0, определяют по таблице его косинус и синус и подставляют найденные значения в уравнения (5.2).

Предположим, что в примере, который графически изображен на рис. 5.1, угол составляет 30°. Угол можно определить, измерив отрезки , и вычислить по ним тангенс искомого угла, а затем по тригонометрической таблице найти сам угол. По таблицам же находятся значения: Новые координаты точек получаются при перемножении матриц:

где Т определяется по формуле (5.5). Координаты первой точки получаются следующим образом: и Приведенные вычисления полностью соответствуют равенству (5.1). Таким образом, перевод одной системы координат в другую, т. е. преобразование одного ортогонального факторного решения в другое в общем виде может быть записано в матричной форме:

где — факторная матрица в новой системе координат, повернутой на некоторый угол относительно старой системы; А — ортогональная исходная матрица факторных нагрузок, полученных по окончании процесса выделения факторов каким-либо методом, в данном прим — цецроидным, а Т является матрицей преобразования.

В случае двух выделенных факторов размер матрицы Т равен 2x2. При вращении против часовой стрелки матрица преобразования в плоскости и имеет вид:

Результат вращения против часовой стрелки на угол 30° для конкретного примера приведен в (5.3). При вращении по часовой стрелке матрица Т несколько изменяется:

В (5.6) по сравнению с (5.5) изменились знаки перед синусом на противоположные. Если два исходных фактора, приведенных в табл. 5.1, повернуть по часовой стрелке на угол 30°, то получим следующее равенство:

Вращение координатных осей по часовой стрелке изображено на рис. 5.2. После того как факторное отображение представлено на графике и по чертежу считано значение угла поворота, формулы (5.4) и (5.5) или (5.6) позволяют относительно быстро выполнить ортогональное вращение на плоскости.

Для приобретения навыков читателю рекомендуется самостоятельно выполнить обе указанные процедуры вращения и сравнить с рис. 5.1 и 5.2. Читатель может ознакомиться со схемой вычислений процесса вращения без применения матричного исчисления, например у Хофстеттера [131; 3] и Линерта [189; 1].

Мы еще не затрагивали вопроса: каким же критерием пользоваться при определении истинного положения системы координат? В приведенном нами упрощенном примере угол поворота осей был принят равным +30 и —30°. При вращении против часовой стрелки было достигнуто такое положение системы, при котором все факторные нагрузки стали положительными, а сами переменные оказались в квадранте. Но подобный результат не может быть достигнут с любыми исходными данными. Вопрос о критериях будет нами рассмотрен особо. Приведенные выше формулы дают возможность осуществить вращение с ортогональными факторами. В принципе эти формулы могут быть использованы для получения многофакторного ортогонального решения при групповом методе, на что указывалось уже в 3.4.5. Следует иметь в виду, что если координатные оси проводятся через центры тяжести облаков точек, то при этом редко достигается ортогональность осей.

Так как факторное отображение преимущественно содержит более двух факторов, то возникает вопрос: осуществимо ли ортогональное вращение с несколькими факторами? В принципе при этом употребляется та же самая формула (5.4), но изменяется размер матриц. Можно казать, что в результате двух ортогональных вращений получается опять ортогональное решение.

Рис. 5.2. Ортогональное вращение по направлению движения часовой стрелки

В случае исходного многофакторного решения операцию вращения можно выполнить на плоскости, учитывая каждый раз одновременно только две оси. Полная матрица преобразования состоит из произведения отдельных матриц преобразования для всех комбинаций пар факторов:

где — означает матрицу преобразования порядка в том случае, если является также числом общих факторов. Диагональные элементы матриц преобразования, за исключением элементов, индексы которых соответствуют номерам вращаемых осей, равны единице, а недиагональные, за тем же исключением, равны нулю. Так, в случае трех выделенных факторов полная матрица преобразования состоит из трех компонент, соответствующих трем последовательным вращениям:

где

Формулы приведены для случая осуществления вращения в направлении, обратном движению часовой стрелки. При вращении по часовой стрелке знаки у соответствующих элементов изменяются на противоположные (см. формулу (5.6)). Полная матрица преобразования Т, отображающая вращение всех комбинаций пар факторов, ортогональна. При наличии факторов можно образовать различных Их пар.

Следовательно, нужно выполнить такое же количество поворотов. Установив для каждой пары угол поворота, вычисляют по (5.7) полную матрицу преобразования. В общем случае нельзя предугадать, как будет выглядеть матрица Т после одновременного осуществления нескольких вращений в различных плоскостях. Также трудно предвидеть, какой вид приобретет в результате ряда преобразований новая матрица А. Итак, выполнений процедуры ортогонального вращения в -мерном пространстве общих факторов графическим методом сводится к осуществлению ряда вращений на отдельных плоскостях и является весьма трудоемким процессом. Если полученная матрица А не удовлетворяет исследователя, приходится начинать новый цикл поворотов. Несмотря на значительные затраты времени, этот способ доказал свою эффективность и до недавних пор широко применялся специалистам», работающими в факторном анализе.

При осуществлении ортогонального преобразования для матрицы Т выполняется условие (см. также с. 47):

И обратно, если Т ортогональна, т. е. она удовлетворяет условию (5.8), означающему, что при умножении ее на транспонированную матрицу получается тождественная, то с ее помощью можно осуществить ортогональное преобразование. Расстояние между двумя точками не изменяется при ортогональном преобразовании.

При ортогональном преобразовании сохраняется прямой угол между координатными осями. Но концепция некоррелированности факторов не всегда выполняется. Уже во вводном разделе данной книги подчеркивалось, что требование ортогональности, хотя и удобно с математической точки зрения, но является прокрустовым ложем, к которому приходится приспосабливать экспериментальный материал. На этот счет в литературе имеются различные мнения. Приверженцы школы Тэрстоуна, которая процветает в США, придерживаются идеи косоугольной системы осей. Действительно, не всегда интерпретацию факторов можно совместить с требованием их некоррелированности. Большинство факторов, оказывающих влияние на измеряемые переменные, взаимосвязано между собой. По-видимому, предполагать каждый раз при любых исследованиях некоррелированность факторов так же неразумно, как требовать некоррелированности между ростом и весом испытуемых. Очевидно, предположение ортогональности факторов следует рассматривать как ограничение, накладываемое в некоторых случаях на факторы. Имеется много примеров, в частности у Каттелла и Дикмана 139] (см. 7.1.2), которые показывают, что косоугольные факторы лучше отражают структуру связи между переменными. Английская школа факторного анализа, представителем которой является Хофстеттер, придерживается принципа нахождения ортогонального решения. Поскольку этот принцип имеет много сторонников, ему также уделяется место в нашей книге. Однако мы считаем, что косоугольному вращению надо отдавать предпочтение. Особенно эффективен он в том случае, когда ортогональное решение оказывается недостаточно адекватным исходному материалу.

Вообще косоугольность или ортогональность факторов в финальном решении должна вытекать из природы самого явления, а не заранее предопределяться процедурой расчетов. В описанной далее процедуре вращения показано, как можно достичь ортогонального или почти ортогонального расположения осей (см. гл. 5.3 и 5.6).

Теперь обсудим формальные предпосылки косоугольного вращения в пространстве общих факторов. В случае косоугольных факторов нагрузки переменных отличаются от коэффициентов корреляций между этими переменными и факторами. При объяснении формулы (2.29) было введено понятие факторной структуры:

Рис. 5.3. Косоугольная система координат. Объяснение дано в тексте

Так же как факторное отображение А, матрица имеет размер и ее элементами являются коэффициенты корреляции между переменными и факторами. В случае ортогональных факторов С является тождественной матрицей, а факторные нагрузки — коэффициентами корреляции между переменными и факторами. Первая трудность, с которой сталкиваются при введении косоугольных факторов, — это отличие факторного отображения А от факторной структуры Наглядно это различие поясняется на рис. 5.3.

Пусть на координатных осях и отложены единичные векторы, представляющие факторы. Угол между ними обозначен через 0, он отличен от прямого, следовательно, оси неортогональны. Таким образом, мы ввели косоугольную систему координат. Точка представляет в этом двумерном пространстве вектор-переменную. Ее координаты в косоугольной системе определяются отрезками которые соответствуют факторным нагрузкам. Из рисунка видно, что отрезок больше единицы, т. е. при неортогональной системе координат, несмотря на нормирование факторов, нагрузки могут превышать единицу. На это следует обратить внимание. Напротив, при ортогональном факторном отображении факторные нагрузки не могут быть больше единицы.

Длина вектор-переменной в пространстве общих факторов по формуле (2.33) равна а именно квадратному корню из значения общности. Обозначим угол между вектором, представляющим переменную, и осью координат через Тогда, воспользовавшись введенными обозначениями и геометрической интерпретацией, можем записать следующее соотношение:

С другой стороны, если переменные представлены в виде векторов, то существующая между ними корреляция равна скалярному произведению этих векторов. В соответствии с этим коэффициент корреляции между переменной i и фактором равен:

Так как длина, или «общность», любого фактора равна единице, т. е. имеем

Итак, коэффициент корреляции между переменной и фактором в косоугольной системе координат соответствует отрезку (рис. 5.3). Аналогично можно показать, что . Рис. 5.3 иллюстрирует разницу между факторными нагрузками и коэффициентами корреляции между переменными и факторами. Обе величины являются проекциями вектора-переменной на оси . Только факторные нагрузки получаются при проецировании вектора параллельно другой оси. При косоугольной системе координат они могут принимать как положительные, так и отрицательные значения и превышать единицу. При проецировании вектора перпендикулярно к соответствующим осям на них получаются проекции, которые равны значениям коэффициентов корреляции между переменной и факторами. Значения коэффициентов корреляций, а следовательно, и величины проекций могут быть как положительными, так и отрицательными числами, но никогда не могут превышать единицу. Если угол между осями и приближается к прямому, то оба вида проекций все больше совпадают. Таким образом, прибегая к геометрической интерпретации, мы наглядно показали разницу между факторным отображением и факторной структурой. В случае ортогональной системы координат отображение и структура совпадают.

Первая трудность, с которой приходится сталкиваться при вращении косоугольной системы координат, это необходимость различать факторное отображение и факторную структуру, Вторая, трудность заключается в понимании различия между двумя возможными решениями, так называемыми первичным и вторичным косоугольными решениями. В соответствии с этими решениями вводятся термины — первичные факторы (primary factors) и вторичные оси (reference vectors).

Для геометрической интерпретации этих понятий воспользуемся двумерной системой координат на рис. 5.4, 5.6-5.8.

На рис. 5.4 в ортогональной системе координат изображены две группы переменных, каждая из которых представлена четырьмя точками. Через центры тяжести облаков точек-переменных можно провести новые координатные оси, на рисунке это оси

Рис. 5.4. Первичное и вторичное решение. Оси соответствуют исходному факторному решению; являются первичными факторами, — вторичными осями. Пунктирными линиями показано проецирование точек на вторичные оси для определения корреляции переменных с этими осями

Изображение точек-переменных в системе координат называют первичным факторным решением, а оси — первичными факторами. Происхождение этих терминов связано с поиском Тэрстоуном первичных элементов умственных способностей (primary mental abilities).

В дальнейшем, при развитии своей психологической теории, он, однако, ввел дополнительную систему координат , оси которой называются вторичными осями. Они являются перпендикулярами, восстановленными из нулевой точки к осям, проходящим через облака точек. Из рис. 5.4 видно, что проекции четырех точек, близких к на ось почти равны нулю, то же самое можно сказать о проекциях точек, близких к на ось . Разумеется, между обоими типами решений существует определенная связь, позволяющая переходить от одного к другому. На практике часто прибегают к вторичному косоугольному решению, так как вторичные оси являются благоприятной отправной точкой для установления системы координат во время вращения.