6. ИЗМЕРЕНИЕ ФАКТОРОВ

В предыдущих разделах обсуждались методы, позволяющие сократить большое число наблюдаемых переменных до небольшого числа влияющих факторов (факторная проблема и проблема общности). Выделенные факторы при решении указанных проблем носили искусственный характер и непосредственно не выражались через наблюдаемые переменные (например, при использовании метода главных факторов, при котором каждый последовательно выделяемый фактор оттягивает на себя максимум суммарной дисперсии, оставшейся после исключения предыдущих факторов). Чтобы достигнуть лучшей интерпретируемости факторов, необходимо выполнить процедуру вращения, руководствуясь принципом простой структуры. Конечным результатом факторного анализа является получение содержательно интерпретируемых факторов, воспроизводящих матрицу коэффициентов корреляций между переменными. Факторное решение может быть записано в виде матрицы выражая таким образом наблюдаемые переменные в терминах факторов. Однако можно пойти еще дальше, а именно решить обратную задачу — произвести измерение факторов по значениям наблюдаемых переменных. До сих пор рассматривалась такая ситуация, когда для каждого индивидуума имелись отдельные значения различных переменных. Теперь будем рассматривать значения различных факторов у каждого обследуемого индивидуума и решать задачу измерения факторов. Значения факторов могут являться результатом статистической оценки или непосредственного определения. Если до сих пор речь шла о факторных нагрузках переменных, то теперь речь пойдет о выражении факторов через переменные.

Основная модель факторного анализа была записана в виде равенства (2.13), которое повторено в данном разделе (6.1). Матрица Z — это матрица стандартизованных переменных, являющихся линейной комбинацией факторов. Уже в модели факторного анализа заложена матрица значений факторов Р. Ее размер , и в каждом ее столбце содержатся значения факторов у отдельных индивидуумов. Матрица должна быть пронормирована построчно. Значения факторов должны иметь среднюю, равную нулю, и дисперсию, равную единице:

До сих пор мы занимались с помощью различных подходов и ограничений определением матрицы А, не затрагивая матрицу значений факторов Р. Если матрица А известна, то можно приступить к определению Р.

На определение матрицы А затрачиваемся много усилий, а ее интерпретация сама по себе является важной задачей факторного анализа. Поэтому большинство исследователей, утомленных длительной процедурой вычислений, отказываются от следующего этапа факторного анализа — определения значений факторов, тем более, что непосредственную пользу при интерпретации факторов этот этап не приносит! С этим можно согласиться, если речь идет о предварительных исследованиях и еще не выяснены все последствия проведенного анализа. Но для дальнейшего использования результатов очень важно знать значения факторов у обследуемых индивидуумов, особенно при генерировании новых гипотез и их проверке. Если проверка гипотез показала, что отдельные функциональные единицы могут быть изолированы, то отдельным индивидуумам могут приписываться значения этих функциональных единиц. Требование факторного анализа выявить структуру, завуалированную какими-то внешними проявлениями, лишь тогда считается выполненным, когда найдено соотношение между этой структурой и отдельными индивидуумами. Каждый индивидуум, таким образом, может быть с погрешностями, обусловленными определением факторов, представлен в виде линейной комбинации значений факторов. С помощью этой комбинации можно рассчитать значения наблюдаемых переменных у отдельного индивидуума.

Такая процедура не позволяет достаточно просто описать способности индивидуума в терминах многочисленных переменных, присущих одному эксперименту. С некоторыми оговорками результаты первого эксперимента можно перенести в другой эксперимент и благодаря этому добиться некоторой экономии в расчетах. Пусть по результатам первой выборки, где были получены измерения переменных, было выделено методом факторного анализа факторов. Для каждого фактора отбираем только те переменные, которые сильно нагружают данный фактор, и только эти переменные используем в других выборках для оценок фактора. По полученным таким образом значениям факторов можно затем способности каждого индивидуума оценить по всем переменным. Погрешность оценки значений фактора при такой процедуре, естественно, больше погрешности, допускаемой при участии всех переменных в экспериментах, Но величину этой погрешности определить трудно.

Исходя из (6.1) запишем равенство отдельного индивидуума:

где — стандартизованное значение t-й переменной для индивидуума; — значения фактора у индивидуума; — вычисленные факторные нагрузки.

Каттелл [35; 4, 5] называет это равенство специфическим (specification equation), так как оно характеризует поведение индивидуума при выполнении психологического теста.

Факторные нагрузки интерпретируются им как признаки, характеризующие ситуацию, — как степень индивидуальности каждого лица. Оба коэффициента являются функциями проявления способности индивидуума в тесте. Эта интерпретация равенства (6.2) переносится на другие области исследования, целью которых является, выражаясь формально, заменить наблюдаемых переменных факторами, причем должно быть

В конкретных случаях проблема определения значений факторов заключается в нахождении такой модификации равенства (6.1), чтобы можно было по известным Z и А построить матрицу Р. Если факторный анализ ведется в терминах главных компонент, то значения факторов могут быть вычислены точно, так как полная единичная дисперсия переменных делится компонентами на определенные части. В модели факторного анализа оценка значений факторов возможна только с помощью множественного регрессионного анализа. Оба случая раздельно обсуждаются в гл. 6.1 и 6.2. При этом в гл. 6.2 кратко излагается метод множественной регрессии для стандартизованных переменных. Множественная корреляция между переменными и факторами рассматривается в гл. 6.3. Коэффициент множественной корреляции между фактором и переменными является мерой точности оценки значений фактора. В заключение в гл. 6.4 упоминаются другие методы определения значений факторов.