Определители.

Каждой квадратной матрице А можно поставить в соответствие некоторое числовое значение, вычисленное по определенному правилу по элементам этой матрицы. Это числовое значение называется определителем, или детерминантом. Если матрица обозначается буквой А, то ее определитель—символом или . Лица, не имеющие специального математического образования, вначале испытывают затруднение перед такими понятиями, как обратная матрица и определитель. Но эти трудности необходимо преодолеть, так как оба понятия весьма плодотворно используются во многих прикладных задачах.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Если умножим первое уравнение на , а второе — на и сложим правые и левые части, то неизвестное у исключается. В результате получим

Если умножим первое уравнение на а второе — на и сложим правые и левые части равенств, то исключится неизвестное х. В результате получим

Перенося в полученных равенствах величину в правую часть, получим значения для х и у, которые являются решениями системы, если . Выражение называется определителем порядка. Аналогично можно вывести выражение определителя порядка из системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. В общем случае определителем квадратной матрицы порядка называется выражение

Определитель представляет собой сумму ряда произведений элементов матрицы, причем число сомножителей в каждом произведении равно порядку матрицы п.

Последовательность является перестановкой чисел 1, 2, Каждое произведение содержит только по одному элементу из каждого столбца и каждой строки матрицы и встречается не более одного раза. Так как число перестановок равно то имеем только произведений. Знак слагаемых определяется величиной

Он положителен, если k — четное число, и отрицателен, если k — нечетное число, k является числом инверсий соответствующей перестановки. Под инверсией понимается явление, состоящее в нарушении натурального расположения чисел в перестановке. (Например, числа

1 2 3 4 имеют естественный порядок следования, а перестановка из этих же чисел 2 4 3 1 имеет четыре инверсии, а именно: 2 и 1, 4 и 3, 4 и 1, а также 3 и 1. Здесь соответствующее слагаемое войдет в определитель со знаком плюс.)

Используем это правило для вычисления определителя матрицы порядка:

Вторые цифры в индексах элементов матрицы напечатаны наклонным шрифтом и соответствуют значениям

Возможными перестановками в данном случае являются соединения 1 2 и 2 1. Итак, имеем два слагаемых, первое из которых берется со знаком плюс, а второе — со знаком минус:

Результат согласуется с вышеприведенным выражением определителя порядка.

Рассмотрим квадратную матрицу порядка:

Вторые цифры в индексах, которые соответствуют , так же как и в предыдущем примере, напечатаны наклонным шрифтом. В определитель такой матрицы входят возможных произведений, а именно:

Перестановки 1 2 3, 2 3 1 и 3 1 2 являются четными, поэтому соответствующие произведения берутся со знаком плюс. Перестановки 1 32,

2 1 3 и 3 2 1 — нечетные, и соответствующие произведения войдут в определитель со знаком минус.

Итак, определитель равен:

Аналогично можно получить выражение определителя квадратной матрицы более высокого порядка, но вычисления при этом становятся более громоздкими. Определитель симметрических матриц, к которым относится и корреляционная матрица, можно вычислить более простым способом, который описан далее.