5.7. ДРУГИЕ МЕТОДЫ ВРАЩЕНИЯ И КРИТЕРИИ

О различных методах вращения при поиске простой структуры имеется обширная литература. Мы останавливались особенно подробно на графическом методе, как наиболее наглядном и часто дающим наилучшие результаты в смысле достижения простой структуры. Этого метода долгое время придерживались последователи Тэрстоуна и Каттелла. Однако имеется еще целый ряд методов, с которыми должен быть хотя бы вкратце ознакомлен читатель. Ни один из них не может быть рекомендован в качестве универсального средства, хотя в некоторых частных случаях они дают хорошую аппроксимацию простой структуры и отличаются быстрой сходимостью.

В частности, Тэрстоун [286; 6] среди других методов указал также на метод обобщенных осей (method of extended vectors), который может быть применен только тогда, когда найдена такая вторичная ось, что все переменные дают на нее положительные проекции. Это очень сильное ограничение, но мы все-таки рекомендуем познакомиться с этим методом, а также с рядом других в [286; 6], в том числе с методом последовательных вращений, известным под названием метода минимизации суммы, или double-group-метода. Этим методом рекомендуется пользоваться тогда, когда большинство соответствующих переменных лежит на одной прямой, не проходящей через начало координат. Очевидно, что во всех этих методах не обойтись без геометрических представлений. Метод вращения, с которым мы познакомились в 5.1, также пригоден для аппроксимации ортогональной простой структуры. Но при большом числе переменных он требует большого объема вычислений, а для этой процедуры до сих пор не написана соответствующая машинная программа. Циммерманом был указан соответствующий графический прием, который позволяет избавиться от вычисления промежуточных координат точек на различных этапах вращения. За счет этого сокращается время на поиск решения с простой структурой.

Наибольшее распространение получили другие методы вращения, о которых речь пойдет ниже. Каттелл [35; 4] считал, что при вращении должны преследоваться три цели:

1. Вращение нужно для того, чтобы в еще неизвестной области между данными была обнаружена новая структура. Поиск этой структуры должен осуществляться внутри самих исходных данных. В качестве отправной точки можно воспользоваться принципом простой структуры. Дальнейшая модификация метода в соответствии с изложенным принципом привела к новой технике факторного анализа, заключающейся в выявлении пропорциональности нагрузок факторов с помощью параллельных форм тестов (parallel proportional profiles). Хотя методика соответствующих расчетов еще далека от совершенства, этот принцип нахождения структуры перспективен.

2. Вращение нужно, чтобы факторы оставались возможно более тесно связанными с различиями между группами индивидуумов. Этот принцип, известный под названием «критерия вращения» (criterion rotation), предложен Айзенком [86; 2].

При осуществлении вращения этим методом придерживаются внешнего критерия.

3. Вращение нужно производить для того, чтобы можно было проверить различные гипотезы. Например: насколько соответствует данное факторное отображение заранее выдвинутой гипотезе? Осуществить проверку такой гипотезы без вращения, очевидно, нельзя. Не все решения факторной проблемы инвариантны относительно добавления новых переменных. Факторное отображение также претерпевает изменение от выборки к выборке, чего нельзя сказать относительно решений, полученных в результате вращения. Во всяком случае, эмпирическим путем была доказана их стабильность в определенных границах. Для проверки гипотез необходимо производить вращение системы факторов, руководствуясь принципом простой структуры или метода наименьших квадратов, а затем определять, насколько точно полученный результат и гипотеза согласуются между собой. Наиболее известна методика соответствующих расчетов, предложенная Харли и Каттеллом и названная ими прокрустовой (Prokrustes-programm).

Метод «выявления пропорциональности нагрузок факторов с помощью параллельных тестов», предложенный Каттеллом [35; 1], можно считать модификацией принципа простой структуры. Он исходил из того, что более простое решение должно получаться не только относительно определенного эксперимента или корреляционной матрицы. Если в изучаемом явлении гарантируется действие одних и тех же факторов, то все матрицы выборочных коэффициентов корреляций, полученные на основе различных экспериментов, должны в результате процедуры вращения давать одну и ту же простую структуру. Если фактор органически присущ данному явлению и может быть использован для содержательной интерпретации механизма изучаемого явления, то факторные нагрузки в финальных матрицах должны оставаться в значительной степени неизменными и не зависеть от колебаний, присущих выборочным наблюдениям. Правда, степень влияния фактора в двух различных корреляционных матрицах может быть выражена по-разному, поэтому и нагрузки на переменные должны изменяться в той же пропорции. Итак, если имеем две выборки, про которые известно, что в одной из них фактор оказывает более сильное воздействие, чем в другой, -то должно быть найдено такое положение осей координат для этих матриц, которое бы выявило пропорциональность нагрузок обоих факторов, что было бы доказательством действительного существования этого фактора. Однозначное определение положения системы координат дало бы возможность также наиболее достоверно оценить значения фактора. К сожалению, метод еще не настолько разработан, чтобы его можно было применять на практике. Для ортогонального случая можно было бы показать технику вычисления на каком-либо примере, но больший интерес представляет все-таки косоугольное решение, а для него эта техника не разработана. Основная идея метода заслуживает интереса.

Айзенк [86; 2], вводя критерий вращения (criterion rotation), выступил с критикой факторного анализа, и прежде всего концепции простой структуры.

Мы не согласны с этой критикой, но предложенный им критерий заслуживает внимания, поскольку его можно рассматривать как принцип простой структуры, но в другом аспекте. Айзенк исходит из того, что имеется некоторый внешний критерий, которым вовсе не обязательно руководствоваться во время вращения при поиске простой структуры. Он предполагает, что по набору тестов применительно к одной выборке нормальных индивидуумов выявляется определенный фактор. Кроме того, он имеет выборку из лиц, у которых этот, вначале только постулируемый, фактор выявляется наиболее ярко; например, для невротиков характерен такой генеральный фактор, как невроз. Далее он определяет по набору тестов бисериальную корреляцию между невротиками и нормальными индивидуумами. Эту корреляцию он использует далее в качестве исходного пункта при вращении. Первый фактор, соответствующий группе нормальных индивидуумов, вращается таким образом, чтобы он как можно точнее (в смысле метода наименьших квадратов) согласовывался с упомянутой корреляцией, принятой в качестве критерия. Эта процедура приводит к подтверждению ранее выдвинутой гипотезы о том, связаны ли данные переменные с определенным фактором и может ли быть он использован в разделении исследуемых индивидуумов на две альтернативные группы. Различие между заранее известными группами индивидуумов служит исходным пунктом для выявления фактора и определения его положения в пространстве общих факторов. Конечно, нельзя точно указать уровень значимости принятия такой гипотезы. Но вполне очевидно, что между фактором, полученным по случайным числам, и вектором-критерием не будет проявляться корреляция; во всяком случае, если и проявится связь между ними, то только совершенно случайно. С другой стороны, процедура, предложенная Айзенком, приводит к максимально возможной корреляции между вектором-критерием и фактором, величина которой, правда, ограничена имеющимися данными и значимость нельзя оценить сразу. При использовании этого метода каждый раз речь идет о проверке гипотез, а не об их генерировании. Айзенк имел обширный экспериментальный материал, из которого он только часть подвергал непосредственно факторному анализу, а остальное употреблял в качестве внешнего критерия. Было бы интересно сравнить результаты факторного анализа по всему экспериментальному материалу, имеющемуся у него, с результатами, полученными по его методу. Описанный анализ с внешним критерием не должен противопоставляться факторному анализу, основанному на принципе простой структуры. Здесь применяется совсем другой критерий, который более прост и нагляден. Но прежде чем вынести ему окончательный приговор и установить границы его применения, анализ с внешним критерием должен быть опробован с различными экспериментальными данными.

Перейдем теперь к методу вращения, предложенного Харли и Каттеллом и независимо от них и даже немного раньше Амаваарой. Как раз из-за предельной ситуации, которая характеризует следующую процедуру, этот метод и представляет интерес. Исходят из того, что стараются как можно точнее сформулировать гипотезу об ожидаемой факторной структуре руководствуясь результатами ранее проведенных исследований или какой-либо информацией о численных значениях элементов данной матрицы.

Исходная факторная матрица вращается до тех пор, пока не появится новая матрица которая в смысле метода наименьших квадратов как можно меньше будет отличаться от соответствующей нашей нулевой гипотезе.

где является матрицей преобразования, переводящей в так, чтобы наилучшим образом аппроксимировала Умножим обе части равенства (5.36) на

Подставив вместо матрицу соответствующую нашей гипотезе, получим матрицу преобразования, столбцы которой не нормализованы. После ее нормализации подставляем в (5.36) и получаем искомую матрицу, которая является наилучшим приближением к в смысле метода наименьших квадратов. Точно не известно, каким условиям должны удовлетворять матрицы Вся процедура основана на принципе наибольшего приближения к гипотетически установленной структуре, согласующейся с наблюдаемыми данными (см. по этому вопросу также Фишера и Ропперта [242]). Естественно, степень приближения зависит и от выдвинутой гипотезы, и от имеющихся данных. Для каждого исходного материала, отражающего природу изучаемого явления, и для каждой гипотезы, выраженной в виде матрицы имеется оптимальное положение системы координат, в которой переходит в Как раз это положение и должно быть определено с помощью некоторой процедуры. Но другая гипотеза может быть так же хорошо или даже еще лучше аппроксимирована теми же данными. Метод заставляет данные занять заранее определенное положение, и потому эта процедура получила такое характерное название — прокрустова процедура. Попытка проверить качество приближения к матрице таит в себе некоторые опасности. В принципе такая процедура аналогична проверке значимости главных компонент. В то время как для проверки значимости главных компонент разработана уже признанная всеми методика (см. 3.3.3), выполнить проверку гипотезы о степени приближения к матрице удается не во всех случаях. Каттелл рекомендует для проверки этой гипотезы процедуру, названную им проверкой сходства резко выделяющихся переменных (salient variable similarity index). Другая процедура описана у Каттелла и Баггалея [36], а также у Харли и Каттелла [149]. При получении отрицательного результата в этих тестах относительно матриц принимаем нулевую гипотезу, заключающуюся в том, что ожидаемая структура не может быть приведена в соответствие с исходными данными. Положительный результат теста позволяет нам сделать вывод, что исследуемый материал с определенной вероятностью может быть представлен в форме, соответствующей выдвинутой гипотезе. При этом рекомендуется производить вращение исходной факторной матрицы, не пользуясь информацией, содержащейся в выдвинутой заранее гипотезе.

Достигнув в результате вращения простой структуры, следует оценить полученный результат, сравнивая с гипотетической структурой.

Описанная выше процедура заслуживает своего названия — прокрустова. Если известны матрицы , то с помощью этой процедуры можно найти матрицу преобразования . Приведенный метод можно использовать для обобщения опыта, стремясь согласовать между собой результаты различных экспериментов. Следует предостеречь читателя от опрометчивых и слишком поспешных выводов, которые могут сложиться в результате этой процедуры.

Данный обзор методов и критериев должен помочь читателю глубже понять стандартные процедуры вращения. В рамках этого параграфа мы не можем полностью воспроизвести всю дискуссию, развернувшуюся вокруг проблемы вращения. Эта дискуссия со всеми доводами за и против объективности процедуры вращения нашла отражение во многих журнальных статьях. Мы ограничились упоминанием только одного критика простой структуры — Айзенка, предложившего в качестве альтернативы внешний критерий.

Дальнейшее развитие концепции простой структуры в методе выявления пропорциональности нагрузок факторов с помощью параллельных тестов свидетельствует о том, что первоначальная формулировка принципа и вытекающие из нее процедуры не удовлетворяют даже сторонников этого принципа и служат основанием для дальнейших его модификаций. Так называемая прокрустова программа показывает, что данные можно в смысле метода наименьших квадратов привести в соответствие с любым заранее заданным решением. Эти три подхода являются лишь небольшой частью многочисленных проблем, возникающих вокруг процедуры вращения. Более подробное обсуждение может завести нас слишком далеко и вынудит заниматься вопросами, которые не нашли еще должного решения. Вместо этого мы перейдем к другой главе и займемся косоугольным вращением. Речь пойдет о факторах второго и более высокого порядков, которые начинают играть все большую роль не только в теории, но и в практических исследованиях.