6.3. КРИТЕРИИ ТОЧНОСТИ ОЦЕНКИ ЗНАЧЕНИИ ФАКТОРА

В последней главе обсуждалось оценивание значений факторов с помощью обычных методов множественной регрессии. Теперь рассмотрим точность полученных оценок. Будем исходить из ортогональной факторной матрицы А. Считаем, что коэффициенты регрессии факторов по переменным определены методом, описанным в предыдущей главе, и известны нам.

Каждое из записанных в (6.23) уравнений регрессии связывает фактор I с наблюдаемыми переменными, приведенными к стандартной форме. Коэффициенты известны. Если в правую часть уравнения подставить -значения переменных у определенного индивидуума, то получим оценку значения фактора для этого индивидуума. Очень хотелось бы знать, насколько точна такая оценка. Мерой качества оценки могут служить коэффициент множественной корреляции и коэффициент множественной детерминации.

При парной линейной корреляции коэффициент корреляции характеризует тесноту связи между х и у.

Соответствующим показателем во множественной регрессии является коэффициент множественной корреляции R, или совокупный коэффициент корреляции. В данном случае мы его будем вычислять как коэффициент корреляции между действительными значениями фактора и их оценками. Итак, для фактора I имеем

(6-24)

Квадрат коэффициента множественной корреляции называется коэффициентом множественной детерминации. В соответствии с этим определением

Коэффициент множественной детерминации состоит из нескольких слагаемых, каждое из которых вносит свой вклад в Каждое из этих слагаемых в свою очередь является произведением коэффициента регрессии и коэффициента корреляции между переменной и фактором Если какое-либо слагаемое в (6.25) значительно по величине, то соответствующая переменная вносит большой вклад в определение фактора I. По коэффициенту множественной детерминации можно определить, какая часть дисперсии фактора обусловлена переменными, а какая часть остается необъясненной. Обычно выражается в процентах, так, например, если то считаем, что 60% дисперсии фактора I определяется переменными, включенными в анализ. Остальная доля дисперсии, а именно обусловлена неучтенными переменными. Вклад отдельной переменной в коэффициент множественной корреляции определяется соответствующим слагаемым в (6.25). Не допуская большой ошибки, можно исключить при оценке фактора переменные, вносящие незначительные вклады в его дисперсию.

По табл. В приложения можно проверить значимость коэффициента множественной корреляции с учетом числа независимых переменных. Если гипотеза о значимости коэффициента множественной корреляции отклоняется, то соответствующий фактор ни в коем случае не следует интерпретировать. Правда, проверка на значимость с помощью этой таблицы не очень корректна, так как она составлена для гипотезы некоррелированности величин. Однако путем вращения можно прийти к такому размещению факторов в пространстве, которое не будет носить случайного характера, даже если сами переменные располагаются в нем случайно. Таким образом, показателем при известных обстоятельствах проверяют качество выполнения процедуры вращения. Из этих рассуждений ясно, что является критерием качества оценки фактора, поэтому коэффициент множественной корреляции всегда полезно вычислять.

Следует отметить еще одно свойство коэффициента множественной корреляции. Он равен стандартному отклонению факторных оценок. Харман [117] приводит вывод следующего равенства (в других обозначениях):

Хотя среднее значение факторных оценок равно пулю, их дисперсия, однако, не равна единице, а соответствует коэффициенту множественной детерминации. Если анализ производится в терминах главных компонент, то коэффициент множественной детерминации равен единице. При использовании же модели факторного анализа стандартное отклонение факторных оценок меньше единицы и соответствует коэффициенту множественной корреляции.

Харман указывает способ преобразования уравнения (6.25) для вывода формул, обладающих рядом полезных свойств. Умножим первое из уравнений системы (6.14) на второе — на и так далее до последнего уравнения, умножаемого на

(6.27)

Члены левой части этих уравнений являются слагаемыми из (6.25). Сложив эти уравнения, мы получим новое выражение коэффициента множественной детерминации Члены левой части уравнений (6.27) измеряют суммарный вклад соответствующей переменной в . В правой части (6.27) полный вклад переменной разбит на части, соответствующие непосредственному и опосредствованному вкладам. Так,например, в первом уравнении суммарный вклад переменной состоит из непосредственного вклада и опосредствованного вклада определяемого корреляциями этой переменной со всеми остальными переменными.

Уравнения (6.27) дают возможность сделать вывод о том, как формируется точность оценки фактора. Если коэффициент множественной детерминации мал, то нужно отказаться от оценки фактора. Конечно, вполне возможно, что относительно большие составляющие имеют противоположные знаки и взаимно сокращаются. Это указывает на особую структуру переменных. Вначале рекомендуется вычислить отдельные слагаемые в правой части (6.25) и проверить значимость коэффициента множественной корреляции, а затем рассматривать вклады отдельных переменных, определяя слагаемые в правых частях уравнений (6.27). Но такое подробное исследование проводится редко. В большинстве случаев не доходят до оценки значений факторов. Однако коэффициент множественной детерминации является важным критерием факторного анализа, который следует всегда вычислять. По нему можно сделать вывод, как точно фактор может быть оценен.