2.3.2. Пространство общих факторов и полное факторное пространство

При геометрической интерпретации матриц, элементами которых являются действительные числа, используется -мерное пространство. Если столбцы матрицы рассматривать как точки, то получим ряд корреляционных диаграмм, выполненных в двумерном изображении. Если, наоборот, рассматривать строки матрицы как точки, то получим пространство тестов, понятие о котором было дано выше.

Вполне очевидно, что оба способа геометрической интерпретации идентичны в смысле представления информации, так как в их основе лежит одна и та же матрица исходных данных.

В факторном анализе предпочитают геометрическую интерпретацию переменных в виде точек в многомерном пространстве. Матрица исходных данных предстает тогда в виде тестового пространства, размерность которого соответствует количеству столбцов, или индивидуумов. Таким же образом можно интерпретировать все остальные матрицы, встречающиеся в факторном анализе. Но обычно ограничиваются только матрицей исходных данных и еще двумя матрицами, пространственные представления которых из-за своих примечательных свойств получили особые названия. Это так называемое пространство общих факторов {common factor space) и полное факторное пространство (total factor space).

Координатными осями пространства общих факторов являются столбцы матрицы А. Для иллюстрации этого пространства используем из табл. 2.4 матрицу А, графическое изображение которой дано на рис. 2.10.

Положение векторов-переменных определяется значениями факторных нагрузок, являющихся координатами концов этих векторов. Первая переменная с факторными нагрузками 0,90 и 0,10 обозначена точкой 1. Шесть переменных являются точками или векторами в двумерной ортогональной системе координат. Так как векторы (стрелки) расположены близко друг к другу, на графике обозначены только их концы. Если было бы три фактора, то использовалась бы трехмерная система координат, при факторах — -мерная система координат. Пространство общих факторов является пространством наименьшей размерности, в котором можно представить переменных в виде векторов. Любое пространство с меньшей размерностью не смогло бы включить в себя все переменные. Любое пространство с большей размерностью обладало бы большими возможностями, чем это необходимо для изображения в нем переменных. Размерность, минимально необходимая для изображения в пространстве всех переменных, соответствует рангу корреляционной матрицы или матрицы исходных данных (см. с. 46). При геометрической интерпретации факторами являются координатные оси, на которые натянуто пространство общих факторов. Они нормированы, т. е. их длина приведена к единице. Это связано с тем, что дисперсия фактора должна быть равна единице. Каждая переменная представлена вектором в пространстве общих факторов.

Как и при рассмотрении тестового пространства, можно поинтересоваться, какова длина этого вектора в пространстве общих факторов. Применив общую формулу для определения расстояния конца вектора от начала координат в -мерном пространстве, получим

т. е. оказывается, что длина вектора-переменной в пространстве общих факторов равна корню квадратному из общности. Наибольшая длина такого вектора равна единице, а именно в том случае, если общность равна единице.

На практике это встречается редко. Итак, длина стрелок на рис. 2.10 указывает на то, какая доля единичной дисперсии каждой переменной является общей с факторами.

Рис. 2.10 является графической иллюстрацией общности, или, вернее, корня квадратного из общности. Другой способ графического представления общности был указан на рис. 2.7.

Рис. 2.10. Пространство общих факторов по данным табл. 2.4. Длина вектора-переменной равна квадратному корню из общности. Коэффициент корреляции между переменными равен косинусу угла между этими переменными в пространстве общих факторов

Угол между двумя векторами-переменными в пространстве общих факторов является мерой корреляции обеих переменных, т. е. справедливо следующее равенство:

Следовательно, косинус угла между двумя векторами так же, как в пространстве тестов, соответствует коэффициенту корреляции. Формулу (2.34) можно записать в таком виде:

Теперь приступим к рассмотрению полного факторного пространства.

Координатными осями в этом пространстве являются столбцы матрицы F (см. (2.25)). Эта матрица в приведенном числовом примере имеет вид:

При геометрической интерпретации шесть переменных были бы представлены векторами в -мерном пространстве. При этом часть координатных осей, а именно две первые оси, соответствовали бы пространству общих факторов. Остальные факторы содержат соответственно только одну нагрузку от одной переменной. Следовательно, оба вида факторов определяют размерность полного факторного пространства. Полное факторное пространство натянуто на все факторы как общие, так и характерные. Пространство общих факторов натянуто только на общие факторы и является подпространством полного факторного пространства. Так как нагрузки общих факторов с помощью равенства (2.21) однозначно определяют нагрузки характерных факторов, то проекции переменных на оси в пространстве общих факторов также однозначно определяют проекции переменных на оси в полном факторном пространстве. Следовательно, вполне достаточно представить переменные в пространстве общих факторов, а их положение в полном факторном пространстве тогда синхронно определится. Так как пространство общих факторов имеет размерность на единиц меньше размерности полного факторного пространства, то оно проще, но, к сожалению, представляет только общие факторы.

Аналогично определению расстояния конца вектора от начала координат в пространстве тестов и пространстве общих факторов длину вектора, который представляет определенную переменную в полном факторном пространстве, можно выразить таким образом:

т. е. концы всех векторов в полном факторном пространстве лежат на поверхности -мерного шара с радиусом, равным единице. Косинус угла между двумя векторами в полном факторном пространстве равен:

т. e. в полном факторном пространстве угол между двумя векторами и, стало быть, коэффициент корреляции между двумя переменными равен скалярному произведению обоих векторов.

Основные характеристики рассмотренных видов пространств собраны в табл. 2.6. Как это было принято и раньше, в данной таблице означает число переменных, п — число индивидуумов, а — число факторов.

Таблица 2.6. Длина вектора и коэффициенты корреляции в пространстве тестов, общих факторов и в полном факторном пространстве