7.2.2. Модель с числом жителей

Уже неоднократно упоминалось, что решение, полученное методами факторного анализа, не только может послужить основой при формулировании некоторой научной гипотезы, но также может быть использовано при оценке этой гипотетической величины для каждого отдельного индивидуума. В разделе 6 были разобраны методы определения значений факторов. Возникает вопрос: какова связь между оценкой неизмеренных величин и оценкой величин, полученных с помощью регрессионного анализа?

С самого начала должно быть ясно, что оценка величин, которые никогда не были измерены и которые были выявлены только с помощью факторного анализа, не может быть точно такой же, как если бы величины определялись с помощью метода регрессионного анализа на основе выборочных наблюдений.

Следует помнить, что при оценке значений фактора также применялся метод множественнойрегрессии (см. с. 244). Но в первом случае целевая функция измеряется непосредственно, во втором же случае она является гипотетической величиной, определяемой с помощью факторного анализа.

По сводным ведомостям органов статистики земли Рейнланд-Пфальц (ФРГ) за 1960—1961 гг. в административном округе г. Кобленца были отобраны первые 200 населенных пунктов с числом жителей меньше 3000. Кроме общего числа жителей для этих пунктов известен целый ряд других переменных, которые тесно связаны с первой переменной. В качестве переменных были выбраны такие величины, которые составляют как можно меньшую долю от наличного населения (от 4,7 до 22,6 %). Для каждого населенного пункта в анализ кроме числа жителей были включены число переселенцев, число жителей моложе 16 лет, число служащих, число женщин, имеющих самостоятельный заработок, и число лиц, занятых в сфере бытового обслуживания. В этом примере каждый населенный пункт соответствует индивидууму в наших предыдущих рассуждениях.

Таблица 7.4. Данные к примеру с числом жителей

В табл. 7.4 приведены нижний треугольник корреляционной матрицы для пяти переменных и верхний треугольник матрицы остатков после выделения первого фактора. Целевая функция — наличное население с соответствующими коэффициентами корреляции выделены в строку 6.

Применяя классический метод множественной регрессии, вычислим линейное уравнение регрессии, связывающее пять «независимых» переменных с зависимой переменной «наличное население». По уравнению регрессии можно оценить число жителей, исходя из значений независимых переменных. Коэффициент корреляции между этими оценками и действительным числом жителей довольно высокий, а именно Следовательно, точность оценки очень высокая.

В левой части рис. 7.7 изображена корреляционная диаграмма для действительного числа жителей в населенных пунктах и полученных оценок.

С другой стороны, может быть неизвестно наличное население, но могут быть измерены пять других переменных; тогда по корреляционной матрице проводится факторный анализ, причем в качестве оценок общностей берутся наибольшие значения элементов каждого столбца матрицы R. Верхний треугольник матрицы остатков после выделения первого фактора приведен в табл. 7.4.

Рис. 7.7. Сравнение точности оценок, полученных с помощью метода множественной регрессии и факторного анализа

Совершенно очевидно, что выделять второй фактор не имеет смысла. Оценка значений фактора была произведена методом, описанным в гл. 6.2. Фактор представляет собой величину, связанную со всеми наблюдаемыми переменными данной матрицы. Коэффициент корреляции между оценками значений фактора и действительным числом жителей равен . В правой части рис. 7.7 изображена диаграмма рассеяния, соответствующая этой зависимости.

Итак, в этой задаче можно без привлечения целевой функции с помощью факторного анализа получить оценку числа наличного населения, почти такую же хорошую, как оценка по уравнению регрессии, для вычисления которой отдельные зйачёнйя целевой функции должны быть известны.

В качестве критерия точности оценки применяют коэффициент множественной детерминации. При оценивании методом множественной регрессии он равен 0,96, а при оценивании методом факторного анализа — 0,92. В данном примере можно произвести оценку интересующего нас признака без измерения зависимой переменной, практически точно такую же, как при применении оптимального оценивания классическим методом регрессионного анализа. При этом преимущество заключается в том, что вообще не нужно измерять зависимую переменную.

Следует указать на то, что коэффициент корреляции не может превышать единицы. Поэтому показатели точности оценок будут все группироваться в конце -шкалы. При использовании -преобразования Фишера можно убедиться, что между коэффициентами корреляции существует такое же различие, как и между коэффициентами или между . Кроме того, нужно обратить внимание на очень тесную связь между переменными в данном примере, что приводит к хорошим оценкам. Данный пример не позволяет сделать вывода о том, каковы будут значения коэффициентов множественной регрессии при применении обоих методов оценивания, если корреляция между переменными будет слабее.

Данный пример показывает принципиальную возможность оценивания неизмеряемых величин с помощью факторного анализа. При этом точность оценок получается не намного ниже, чем это происходит при определении оценок по уравнению регрессии и когда к тому же для составления этого уравнения нужно измерять величину, подлежащую оцениванию. Конечно, если бы данная задача встретилась нам на практике, то мы не применили бы факторный анализ, так как целевая функция нам известна. Но именно знание значений целевой функции позволило нам провести сравнение точности оценок при двух подходах к решению задачи. При практическом исследовании была бы лишь известна матрица коэффициентов корреляции между наблюдаемыми переменными. Оверолл и Вильямс применили описанную процедуру для оценки функционального состояния щитовидной железы, определив содержание тироксина в крови, которое клиническим путем нельзя установить. При этом они использовали ряд измеряемых величин, про которые известно, что они коррелируют с содержанием этого гормона в крови, вырабатываемого щитовидной железой. Подобная процедура могла бы оказаться полезной во многих медицинских и биологических исследованиях.