7.1.2. Задача о мячах Каттелла и Дикмана

Каттелл и Дикман в 1962 г. опубликовали работу «А dynamic model of physical influences demonstrating the necessity of oblique simple structure». Так как в ней шла речь об эксперименте с мячами, в дальнейшем задача получила короткое название «ball-problem». При создании j модели они исходили из того, что

1) должны учитываться физические величины;

2) должна быть введена погрешность измерения;

3) факторы не должны искусственно приводиться к ортогональному виду;

4) ожидаемая структура должна быть точно известна заранее.

Целью работы было разрешить спор между сторонниками ортогонального и косоугольного вращения. С этой целью из 150 мячей различных размеров и видов было отобрано 80 штук. Размер, вес и упругость мячей рассматривались как факторы. При этом особое внимание обращалось на то, чтобы эти факторы (величины) имели приблизительно нормальное распределение. Для этого некоторые из отобранных мячей были заменены деревянными шарами. Четвертый фактор был образован следующим образом. Нить была разрезана на 80 частей. Длина каждого отрезка составляла от 10 до 60 дюймов. Но отрезки были подобраны так, что этот признак (длина) имел нормальное распределение. Затем нити были случайным образом распределены между 80 мячами так, что не могло быть речи ни о кат кой корреляции между признаками (характеристиками) мячей и длиной нитей. Фактор «длина нити» ортогонален к другим величинам. На этих нитях мячи были подвешены наподобие маятников. Объекты наблюдения, составленные из мяча и нити, соответствуют в принятой нами ранее терминологии индивидуумам с набором переменных. Область, подлежащая исследованию, была ограничена четырьмя свойствами наблюдаемых объектов: размером мячей, их весом, упругостью (высотой отскока от твердой поверхности) и длиной нити, на которой закреплен мяч. Для этой области исследования были сконструированы переменные, по возможности в одинаковой степени отражающие свойства объектов. Укажем некоторые из этих переменных.

Переменная 5: число оборотов мяча при скатывании по наклонной плоскости длиной в четыре фута.

Переменная 7: диаметр тени мяча на стене, когда мяч находится посередине между стеной и источником света.

Переменная 11: расстояние, на которое отодвигается спичечная коробка от основания наклонной плоскости под ударом мяча, скатившегося по этой плоскости.

Переменная 15: число подскоков мяча на высоту более V4 дюйма при падении его с высоты 36 дюймов на твердую поверхность.

Переменная 24: число колебаний (в течение 15 секунд) мяча, раскачивающегося на нити.

Кроме того, для каждого из факторов, намеченных к исследованию, подбирается маркировочная переменная (marker variable). Это такая переменная, про которую известно, что она значительно нагружает определенный фактор, или маркирует его. Переменные такого типа включаются в анализ, чтобы ранее полученные результаты учесть в новом исследовании. В данном случае в качестве маркировочных переменных выступали размер, вес, упругость мячей и длина нити. Факторный анализ, и особенно вращение, производились вслепую, т. е. без знания маркировочных переменных.

Диапазон изменения переменных значителен. Эксперимент был проведен два раза. Коэффициент надежности оказался значительно больше 0,90. По корреляционной матрице, вычисленной для 32 переменных, определили ее собственные значения. Так как четыре собственных значения оказались больше единицы, то ограничились выделением четырех факторов (см. критерий на с. 136). Путем итеративной процедуры были найдены оценки общности для четырех факторов.

После десятого цикла итерации значения общностей практически не изменялись. К редуцированной матрице с оценками общностей был применен центроидный метод. Исследователи хотели проверить этот метод выделения факторов. Использование метода главных факторов дало бы более точные результаты.

Ожидаемое факторное отображение для 32 переменных можно оценить более или менее точно. Оно представлено в левой части рис. 7.2. Первые четыре переменные являются маркировочными. Затем следует ряд переменных, которые связаны только с первым фактором и значительно его нагружают. Затем идут переменные, связанные только со вторым фактором, с третьим и с четвертым. Наконец, имеется еще несколько переменных, дающих нагрузки на два или три фактора.

Рис. 7.2. Задача о мячах (Ball-проблема Каттелла и Дикмана). Объяснение дано в тексте. S — величина; W — вес; Е — упругость; L — длина

Выделенные факторы, не подвергнутые вращению, как в задаче с ящиками, не могут быть содержательно проинтерпретированы. Нагрузки многих переменных на факторы не соответствовали ожидаемым. При этом не совпали бы центроидное решение и решение, полученное методом главных факторов. Для получения содержательно интерпретируемых факторов необходима процедура вращения.

Варимакс-решение представлено в середине рис. 7.2. Ортогональное приближение к простой структуре дает хорошие результаты тогда, когда факторы приблизительно ортогональны. В данном эксперименте четвертый фактор, длина нити, ортогонален ко всем остальным, так как он был сформирован путем случайного распределения отрезков нити по мячам. Из рис. 7.2 видно, что нагрузки четвертого фактора почти точно совпадают с ожидаемыми. Нагрузки трех других факторов варимакс-решения плохо согласуются с ожидаемыми. Это неудивительно, так как коэффициент корреляции между размером и весом близок 0,70, и эта корреляция варимакс-критерием никак не учитывается.

Результат косоугольного вращения, полученный авторами задачи, представлен в правой части рис. 7.2. Решение было достигнуто с помощью бинормамин-критерия и Rotoplot-программы. Рекомендуемая в 5.5.1 процедура применения к варимакс-решению графического вращения по Rotoplot-программе приводит к тому же результату, в чем можно убедиться на примере, приведенном в гл. 5.6. Все связанные с этим примером расчеты были выполнены независимо от Каттелла и Дикмана.

Для выполнения расчетов вслепую автор изменил нумерацию переменных. Лишь после достижения простой структуры были восстановлены их первоначальные обозначения. Сравнивая результаты, приведенные на рис. 7.2, с табл. 5.15, можно убедиться, что оба решения согласуются между собой. Матрица почти соответствует ожидаемому факторному отображению. Существующие расхождения не имеют большого значения по сравнению с общей тенденцией результата решения и могут быть отнесены к ошибке в оценке ожидаемого факторного отображения. Для оценки значимости простой структуры, полученной в результате применения различных методов, составлена табл. 7.2. При этом учитывались только те переменные, для которых

Таблица 7.2. Подсчет числа нулевых нагрузок в задаче о мячах

По критерию Баргмана на 5%-ном уровне значимости внутри зоны ±0,10 вокруг гиперплоскостей координат при данном числе переменных и факторов следует ожидать не менее 11 нулевых нагрузок.

На уровне значимости 1% считается, что фактор достаточно определен переменными при числе нулевых нагрузок больше II. Ни один центроидный фактор не удовлетворяет этому условию. Следовательно, оси координат в центроидном решении расположены относительно векторов-переменных чисто случайно. В варимакс-решении значимым является лишь один фактор, а именно длина нити. Этот фактор ортогонален по отношению к другим факторам. В результате косоугольного вращения достигнуто такое положение системы координат, что все четыре фактора на 1%-ном уровне значимости достаточно однозначно определяются своими переменными.

Каттелл и Дикман на этой задаче показали, что выделенные факторы могут оказаться физическими величинами, определяющими поведение наблюдаемых переменных. Путем косоугольного вращения было найдено положение осей координат, удовлетворяющее критерию Баргмана. Повернутые факторы оказались содержательно интерпретируемыми и достаточно точно согласующимися с ожидаемым отображением. При ортогональном вращении оказался значимым только один фактор, а именно тот, который был заранее сформирован как ортогональный. Косоугольные факторы, которые как раз чаще всего встречаются в действительности, к сожалению, не могут быть достаточно точно определены с помощью варимакс-критерия. Этот пример демонстрирует необходимость выявления косоугольных факторов, если исследователь стремится обнаружить влияния, лежащие в основе наблюдаемых переменных.