3.4.3. Двухфакторный метод Спирмэна

Создание двухфакторного метода тесно связано с разработкой Спирмэном теории интеллектуальных возможностей. На корреляционные матрицы проводимых психологических тестов Спирмэн накладывал условие: они должны воспроизводиться факторным отображением, соответствующим рис. 3.17. Этим самым постулируется один генеральный фактор, который содержится во всех переменных, и, кроме того, у каждой переменной есть свой специфический фактор. В основе теории лежит предположение, что каждый тест может быть выражен действием одного генерального фактора и фактором, специфичным для данного теста. Эта форма факторного отображения перешла в многофакторный анализ, поскольку в нем для объяснения каждой переменной требуется один характерный фактор (см. формулу (2.23)).

Таким образом, для того чтобы можно было к корреляционной матрице применять двухфакторный метод, она должна соответствовать определенным условиям. Уже упоминалось, что ранг корреляционной матрицы равен числу общих факторов. Корреляционная матрица R с факторным отображением, соответствующим рис. 3.17, имеет ранг, равный единице. Три переменные можно всегда представить в таком виде, т. е. они могут быть описаны одним общим фактором. Но для четырех переменных такая ситуация не всегда возможна.

Для того чтобы четыре переменные могли быть описаны одним фактором, коэффициенты корреляции этих переменных должны удовлетворять двум независимым условиям. Это требование Спирмэн назвал условиями равенства нулю тетрад (vanishing of tetrad differences). Это выражение сыграло значительную роль в научной литературе. Для четырех переменных при наличии одного общего фактора Спирмэн получил следующие два равенства:

Точное указание числа независимых условий, которым при данном числе переменных и факторов должна удовлетворять корреляционная матрица, можно найти у Хармана [117].

Рис. 3.17. Схематическое изображение матрицы факторного отображения F в двухфакторном методе Спирмэна: — переменные; — генеральный фактор; — специфичные факторы. Крестиками отмечены высокие факторные нагрузки

При увеличении числа переменных для получения факторного отображения с одним генеральным фактором и специфичными факторами, относящимися к каждой переменной, возрастает число уравнений, выражающих требование Спирмэна. При этом часть этих уравнений будет линейно зависеть друг от друга. Мы не будем описывать технику вычисления факторных нагрузок по двухфакторному методу. Однако следует упомянуть особый случай, известный под названием варианта Хейвуда. Он возникает тогда, когда одна из общностей превышает единицу, что непосредственно связано с требованием о равенстве тетрад нулю. Это требование выполняется, когда ранг матрицы равен единице. Для того чтобы реальная редуцированная корреляционная матрица имела ранг, равный единице, необходимо, чтобы один из ее диагональных элементов был больше единицы.