Обратная матрица.

Если матрица А квадратная и ее элементы являются действительными числами, то при определенных условиях Существует такая матрица , что

Матрицу называют обратной к матрице А. Обратная матрица должна быть такой, чтобы в результате умножения ее на матрицу А получилась единичная матрица I. Например:

Чтобы подчеркнуть принадлежность элементов к обратной матрице, индексы ее элементов пишут наверху.

Существуют следующие правила:

Не для всех квадратных матриц существует обратная матрица. Если существует, то матрица А называется невырожденной, или неособенной. В противном случае А — особенная (вырожденная) матрица. Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является отличие от нуля определителя матрицы А (понятие определителя дано дальше).

Таблица 1.3. Вычислительная схема к процедуре умножения матриц

Имеется несколько способов вычисления обратной матрицы (см., например, работы Фуллера [102] или Цурмюля [329]). Если D — диагональная матрица, то обратная ей матрица есть

т. е. в этом случае процесс определения обратной матрицы сводится к вычислению обратных величин элементов главной диагонали. Во всех остальных случаях процесс вычисления обратной матрицы очень трудоемкий, особенно если порядок матрицы больше 5 или 6. Далее на с. 52 приведена схема вычисления обратной симметрической матрицы с помощью клавишной вычислительной машины. Обычно вычисление обратной матрицы производится на ЭВМ по уже готовой программе.

Иногда при этой операции для матриц размерностью более 50 хотят получить значительную точность. Рекомендуется поэтому в каждом случае вычислить произведение . По отклонению этого произведения от I можно судить о точности вычисления обратной матрицы.